整数根与有理根(含答案)-

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1、www.czsx.com.cn一元二次方程（四）整数根与有理根A卷1．已知k为整数，且关于x的二次方程有两个不等的正整数根，则k=_________。2．设一元二次方程的两根均为整数，且两根同号，则a=__________。3．方程(x-a)(x–8)–1=0的两个整数根，则a=__________。4．若p,q都是正整数，方程的两根都是质数，则2p+q=________.5．已知p,q为自然数，方程两根都是质数，则p+q=________。6．若p是质数，且方程的两根均为整数，则p=______。7．设方程的两根均为正整数，若p+q=28，则=___________

2、。8．如果a为有理数，要使方程的根总是有理数，则b的值应为____________。9．设关于x的二次方程当a______时，此方程至少有一个正整数解；当a_______时，此方程有两个正整数解；当a__________时，此方程有两个负整数解。10．对于整系数一元二次方程有有理根的充要条件是________；若a,b,c均为奇数，则方程_______________，若a,b为偶娄，c为奇数，则方程___________，若此方程有有理根p/q(p,q互质)，则p,q,a,c之间必有关系______________；若a>0且不是完全平方数，则方程有______。B

3、卷一、填空题1．若k是自然数，且关于x的二次方程有两个正整数根，则2．两个质数p,q恰是整系数方程的两根，则3．若二次方程至少有一个整数根，则自然数a=____.-8-www.czsx.com.cn4．若正整系数二次方程有相异的两个有理根p,q，且p>q，又方程与方程有一公共根，则方程的另一根为___________。5．设a,b,c为三角形ABC的三边，且满足:（1）a>b>c；（2）2b=a+c；（3）则整数b=__________。6．象棋比赛中每个选手都和其他选手恰好比赛一局，每局赢者得2分，输者得0分，平局各记1分，今有四个同学统计了比赛中全部选手得分总数情

4、况分别是1980、1983、1989、1991，经核实确有一个同学统计无误，这次比赛中有_____名选手参加比赛。二、选择题1．设p是质数，如果方程的两根均为整则，则（）A．0

5、（）A．1个;B．3个;C．5个;D．无数个三、解答题1．若x,y为正整数，使得能被2xy整除，证明：x为完全平方数。2．M为何整数时，能分解成两个连续自然数之积。-8-www.czsx.com.cn3．已知方程及分别各有两个整数根且两根均同号，求证：b–1≤c≤b+1.答案A卷1．原方程化为[(k+1)x-6][(k-1)x–3]=0,∴2．-2;3．8;4．19975．4096．设原方程的两根，则∵p为质数，故中有一个是p的倍数，设=kp（k为整数），又∴∴即当k=3时，p=37，∴p=37。7．29；8．1；9．原方程变形为[(a-1)x–(2a+1)](x-a

6、)=0当a=1时，原方程只有一个根x=a；当a≠1时，其二根为因此，-8-www.czsx.com.cn（1）当a为任何正整数时，方程至少有一个正整数根，（2）要使方程二根均为正整数，由于所以，当a为正整数，只要3能被a-1整除，则是正整数，故只须取a=2或a=4即可，当a=2时，方程有两个正整数根当a=4时，方程有两个正整数根（3）当为负整数时，由a-1<0,2a+1<0,∴为正数，∴无论a取何值，方程两根不会是负整数。10．=是一个完全平方数；无整数根，p/c且q/a；有共轭无数根B卷一、填空题1．设α、β是方程的两个正整数根，则由于α、β是正整数，故αβ也是正数

7、，从而k=2，则αβ=2且α+β=3=故p=3，从而2．由韦达定理，p+q=99，由于p,q是质数，故p,q中必有一个为2，要计算的代数式关于p,q是对移的，不妨设p=2，从而q=97，∴3．∵原方程至少有一个整数根，故=为完全平方数，-8-www.czsx.com.cn设（m为自然数）则代入原方程，得解之得∵中至少有一个整数，∴m

8、4或（m+1）

9、4．又∵m为自然数，∴m=1，2，4或m+1=2，4。∴m=1，2，3，4，从而a=1，3，6，10。4．设公共根为a，则∴(p–q)a+2(p–q)=0∴(p–q)(a+2)=0∵p