高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式课堂导学案新人教选修

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1、4.2用数学归纳法证明不等式课堂导学三点剖析一、利用数学归纳法证明不等式的技巧（一）【例1】对于n∈N,证明>1.证明：当n=1时，左边=>1=右边；设n=k时，有>1;当n=k+1时，左边>1=右边.所以对一切自然数n不等式均成立.温馨提示解此题的关键是凑出归纳假设的形式，这里要把握不等式左边式子的结构特征，明确从n=k到n=k+1增减的项.各个击破类题演练1对于n∈N，试比较2n与n2的大小.解析：先验算n=1时，2n>n2，n=2和n=4时，2n=n2,n=3时,2nn2,猜测对n≥5有2n>n2.用数学归纳法证明如下：（1）当n=5时，已

2、证.（2）设当n=k(k≥5)时，2k>k2且k2>2k+1.当n=k+1时，2k+1=2·2k>2k2>k2+2k+1=(k+1)2,即n=k+1时成立.由（1）、（2），知猜测正确.变式提升1求证：1+.证明：用数学归纳法.当n=1时，显然不等式成立.根据归纳假设，当n=k时，命题成立，即1+.①要证明n=k+1时，命题也成立，即1+.②要用①来证明②,事实上，对不等式①两边加上（）,就凑好了不等式②的左边.接下来，只需证≥.③③式左边共有2k项，且最小，故,这就证明了③式成立.综上，知不等式成立.二、利用数学归纳法证明不等式的技巧（二）【例2】已知n是大于1的自然数，求

3、证：(1+)(1+)(1+)…(1+)>.证明：假设n=k(k≥2)时，原不等式成立，即（1+）(1+)(1+)…(1+)>.则当n=k+1时，左边=（1+）（1+）（1+）…（1+）·()>·(1+)=().现在关键证()>,直接证较繁,下面用分析法证之.欲证（）>,即证,只需证2k+1++2>2k+3,即>0.这显然是成立的，故当n=k+1时，原不等式成立.综上，当n为大于1的自然数时，原不等式成立.温馨提示用数学归纳法证明不等式时，从P(k)到P(k+1)的过渡往往用到不等式的传递性，即要证n=k+1时不等式成立〔不妨用A(k+1)≥B(k+1)表示〕，需n=k时，A（

4、k）≥B(k)成立,然后有A（k+1）=A(k)+C(k)≥B(k)+C(k),类题演练2在数列{an}中，

5、an

6、<2,且an+1an-2an+1+2an<0,求证：an>(n∈N).证明：∵

7、an

8、<2,∴-20.由题设an+1(2-an)>2an,则an+1>.1°当n=1时，由

9、an

10、<2,得a1>-2=成立.2°假设当n=k时，有ak>成立.（下证ak+1>成立）设f(x)=,易知f(x)在(-2,2)内是单调递增的，又ak+1>f(ak),由归纳假设,可知ak>,∴ak+1>f(ak)>f()=,即当n=k+1时，ak+1>成立.故对任意n

11、∈N，an>成立.变式提升2设a,b∈R*,n∈N*,求证：≥()n.证明：①n=1时，左边=右边=,原不等式成立.②设n=k时,原不等式成立，即≥()k成立.∵a,b∈R+,∴·≥成立.∴要证明n=k+1时原不等式成立，即证明k+1成立.只需证明:成立.只需证明:ak+1+bk+1≥abk+akb成立.下面证明:ak+1+bk+1≥abk+akb成立.不妨设a≥b>0,则ak+1+bk+1-abk-akb=(ak-bk)(a-b)≥0.∴ak+1+bk+1≥abk+akb成立.故n=k+1时原不等式成立.由①②,可知对于任何n∈N*，原不等式成立.三、数学归纳法证明不等式的

12、点问题【例3】证明n为一切自然数时，（1+2+…+n）·（1++…+）≥n2.证明：先看下面的证明（1）n=1时，左边=右边=1,命题正确.（2）假设n=k(k∈N且k≥1)命题正确，即(1+2+…+k)·(1++…+)≥k2，则n=k+1时，左边=［1+2+…+k+(k+1)］［1++…+］=(1+2+…+k)·(1++…+)++(k+1)·（1++…+）+1≥k2+k+(k+1)(1++…+)+1，∵1++…+≥1+,∴左边≥k2+k+(k+1)(1+)+1=k2+2k+1+≥k2+2k+1=(k+1)2.∴n=k+1时命题正确.综合（1）、（2）,知n为一切自然数时命题

13、正确.初看“证明”天衣无缝，仔细推敲便会发现“证明”中的“奠基”只是不中用的拉郎配.归纳步的证明用了结论“1++…+≥1+”,此结论成立的前提条件是k≥2,即归纳步建立的自动递推机制只能在n≥2(n∈N)的范围内行使递推职能，其得以起动的初始条件是n=2时命题正确.因此数学归纳法的奠基应是n=2时命题正确的验证，n=1时的验证只是对命题的补充证明，并非为奠基.该命题严格的证明过程应该是：（1）n=1,2时命题正确，（2）n≥2时，用数学归纳法证明假设n=k(k∈N且k≥2)时命题正确，证明n=k+1时命