高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式自主训练新人教选修

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1、4.2用数学归纳法证明不等式自主广场我夯基我达标1.用数学归纳法证明“≥,(n∈N+)”时,由n=k到n=k+1时,不等式左边应添加的项是()A.B.C.D.思路解析:当n=k时,不等式为≥,当n=k+1时,左边==,比较n=k与n=k+1的左边,知应添加的项是.答案:C2.用数学归纳法证明1+++…+1)时,第一步即证下述哪个不等式成立()A.1<2B.1+<2C.1++<2D.1+<2思路解析:n=2时,左边=1++,右边=2.所以应证1++<2.答案:C3.用数学归纳法证明“1++

2、+…+1)”时,由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是()A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1思路解析:增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k+1-2k=2k.答案:C4.关于正整数n的不等式2n>n2成立的条件是()A.n∈N+B.n≥4C.n>4D.n=1或n>4思路解析:验证n=1,2,3,4,5,6等值.答案:D5.对于不等式≤n+1(n∈N+),某学生的证明过程如下:(1)当n=1时,≤1+1,不等式成立.(2)假设n=k(k∈N+

3、)时,不等式成立,即

4、n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)27.用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数n,不等式(1+)(1+)…(1+)>成立.证明:(1)当n=2时,左边=1+=,右边=,左边>右边.∴不等式成立.(2)假设n=k时,不等式成立,即(1+)(1+)…(1+)>,那么当n=k+1时,(1+)(1+)…(1+)[1+]>=.∴n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)知,对一切大于1的自然数n,不等式都成立.8.设数列{an}满足a1=2,an

5、+1=an+(n=1,2,3,…)求证:an>对一切正整数n成立.证法一:当n=1时,a1=2>,不等式成立,假设n=k时,ak>成立.当n=k+1时,ak+12=ak2++2>2k+3+>2(k+1)+1.∴n=k+1时,ak+1>成立.综上(1)(2)可知,an>对一切正整数成立.证法二:当n=1时,a1=2>=,结论成立.假设n=k时结论成立,即ak>.当n=k+1时,由函数f(x)=x+(x>1)的单调性和归纳假设有ak+1=ak+>+.因此只需证+≥,而这等价于()+()2≥≥0显然成立.所以当n=

6、k+1时,结论成立.因此,an>对一切正整数n均成立.9.(经典回放)已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145(n∈N+)(1)求数列{bn}的通项.(2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a>0且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和,试比较Sn与logabn+1的大小,并证明你的结论.解:(1)设数列{bn}的公差为d,由题意,得10×1+×d=145,∴d=3,bn=3n-2.(2)由bn=3n-2知,Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(

7、1+)=loga[(1+1)(1+)…(1+)],logabn+1=loga.因此要比较Sn与logabn+1的大小,可先比较(1+1)(1+)…(1+)与的大小.取n=1,有(1+1)>,取n≥2,有(1+1)(1+)…(1+)>.下面用数学归纳法证明之:①当n=1时,已验证不等式成立.②假设当n=k(k∈N+)时,不等式成立,即(1+1)(1+)…(1+)>,则当n=k+1时,(1+1)(1+)…(1+)[1+]>(1+)=·(3k+2).∵[(3k+2)]3-()3=>0.∴+1·(3k+2)>=.因此

8、(1+1)(1+)…(1+)[1+]>.这说明,当n=k+1时,不等式也成立.由①②知,对一切n∈N+,不等式(1+1)(1+)…(1+)>都成立.再由对数的性质,可得:当a>1时,Sn>logabn+1;当0

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