数学与应用数学专业必修课程教学大纲

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1、数学与应用数学专业必修课程教学大纲常微分方程一、说明（一）课程性质分析数学研究的基本对象是函数（泛函、算子）和方程。在大量的实际问题中遇到比较复杂的运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系（即函数）往往不能直接写出来，却比较容易建立这些量和它们的导数（或微分）间的关系式，即微分方程。从数学发展史看，微分方程不仅是分析数学联系实际问题的重要桥梁，而且是体现分析数学的众多重要思想的窗口。微分方程研究的主要内容是如何求解微分方程和解的适定性问题（各种属性），它是分析数学系列课程以及数学专业与应用数学专业其他后继课程

2、的重要基础。微分方程是数学与应用数学专业的专业课之一，在第4学期开设。（二）教学目的掌握微分方程的基本概念、基本理论和基本方法；初步具有分析问题和解决问题（包括可化为微分方程问题的数学理论问题和以微分方程为模型的应用问题）的能力；为分析数学的后继课程和数值分析等相关课程备好必要的基础知识。（三）教学内容分5部分。（1）微分方程的基本概念和初等积分法；（2）微分方程的基本理论的建立；（3）线性微分方程的一般理论和关于常系数线性微分方程的特征根法、比较系数法、常数变易法及Laplace变换；（4）一阶线性方程组的一

3、般理论和常系数线性微分方程组的解法，主要是特征根法和常数变易法；（5）定性理论和稳定性理论的初步知识；（四）教学时数54学时（五）教学方式讲授法，同时注重常微分方程基本理论和数学物理问题的密切结合。二、本文第一章初等积分法教学要点准确理解微分方程的一些最基本的概念；按如下两条主线掌握一阶方程的初等积分法：变量分离方程和通过变换可化为变量分离方程的方程，全微分方程和通过积分因子法或分项组合法可化为全微分方程的方程；掌握隐式微分方程的微分消参法和可降阶的高阶微分方程的解法。教学时数13学时教学内容第一节微分方程与解

4、（2学时）基本概念：微分方程、阶、解与积分（通解与通积分，特解与积分）、定解问题，通过单摆方程和人口模型等介绍微分方程的背景和建立微分方程求解应用问题的基本方法。第二节变量可分离方程（1学时）变量分离法。第三节齐次方程（2学时）齐次方程和一些齐次方程的变形的解法。第四节一阶线性方程（2学时）一阶线性方程的解法—常数变易法与Bernoulli方程的解法；通过解的一般表达式讨论解的性质。第五节全微分方程及积分因子（2学时）全微分方程的解法和积分因子法、分项组合法。第六节一阶隐式微分方程（2学时）一阶隐式微分方程的微

5、分消参法，特别是Clairaut方程的解法。第八节几种可降阶的高阶方程（1学时）几种可降阶的高阶微分方程的解法。第九节一阶微分方程应用举例（1学时）简介考核要求掌握微分方程的基本概念--微分方程、阶、解与积分（通解与通积分，特解与积分）等；掌握变量分离方程和通过变换可化为变量分离方程的方程、全微分方程和通过积分因子法或分项组合法可化为全微分方程的一阶微分方程的解法；掌握隐式微分方程的微分消参法和可降阶的高阶微分方程的解法；能够通过解的一般表达式讨论解的性质，理解和应用奇解概念；通过建立微分方程求解一些应用问题。

6、第一章基本定理教学要点解的存在唯一性定理、延拓定理、解对初值的连续依赖性和可微性定理以及所涉及概念的准确理解，解的存在唯一性定理的详细证明。教学时数9学时教学内容第一节常微分方程的几何解释（1学时）线素场、欧拉折线以及初值问题解的存在性。第二节解的存在性与唯一性定理（3学时）引进并详细证明解的存在唯一性定理；依据具体例子对定理的条件做详细说明。第三节解的延展（2学时）介绍并证明解的延展定理，示例说明该定理的条件；介绍第一比较定理。第四节奇解和包络（2学时）奇解的定义，不存在奇解的判别法，包络线的定义以及奇解的求

7、法第五节解对初值的连续依赖性和解对初值的可微性（1学时）介绍并证明解对初值的连续依赖性定理；掌握解对初值的可微性定理。考核要求重点掌握解的存在唯一性定理、延拓定理的内容以及解的存在唯一性定理的证明思想；熟练掌握Picard逼近列、Lipschits条件和延拓概念。第一章一阶线性微分方程组教学要点准确理解线性微分方程组的一般理论；能够熟练掌握Liouville公式、常数变易法、常系数线性微分方程的特征根法和简单的非齐次方程的解法。教学时数10学时教学内容第一节一阶微分方程组一阶微分方程组初值问题解的存在唯一性定理

8、。第二节一阶线性微分方程组的一般概念一阶线性微分方程组初值问题解的存在唯一性定理。注：第一节与第二节共2学时第三节一阶线性齐次方程组的一般理论（2学时）建立线性齐次微分方程组的一般理论，得到通解结构定理，证明Liouville公式。第四节一阶线性非齐次方程组的一般理论（1学时）线性非齐次微分方程组的一般理论和常数变易法。第五节常系数线性微分方程组的解法（5学时）特征根法—理论证明与方法