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1、用函数图像解两道赛题中学生数学?2011年6月上?第419期(高中)赫镖罐两棼安徽省涡阳第一中学(233600)蒲录飞周广健例1(2002年全国联赛试题)设二次函数厂()一口z.+bx+c(a,b,cER,n≠0)满足以下条件:(1)z∈R时,(z一4)一,(2一z),且,(1z)≥;l1(2)z∈(o,2)时,厂(z)≤();厶(3)_厂()在R上的最小值为0.求最大的(>1),使得存在tER,只要zEE1,m],就有L厂(z+)≤.参考答案在求m的最大值时,采用了先取特殊值z=1进行探索,确定出t的范围,再根据函数的单调性得到
2、m的最大值,最后给出证明的思路来求解,此种方法比较繁复且难以掌握.笔者发现如果能够充分结合函数的图像,m的最大值便可轻松求出.解可由已知条1件求出厂(z)一÷(z+1),对于不等式f(x+￡)≤z可考虑利用函数一厂(z+￡)与—图像的位置关系来处理,)==}\一l图t要使不等式(z+￡)≤z成立,只需将_厂()一÷(z+1).平移到如图1过点A(1,1)的位置即可,而m的最大值即为B点的横坐标.由-厂(1十￡)一1解得t一一4,联立Y:z与1Y—f(x--4)一÷(一3),解得-z:9.所以m的最大值为9.例2(2008年黑龙江预赛
3、试题)已知函数r(z)一口z+bx+C(口>6>C)的图像上有两点A(m,f(1)),A(2,f(m2))满足a+If(m1)+_厂(2)]口+厂(m1)f(m)一0,厂(1)一0.(1)求证:6≥0;(2)求证:_厂()的图像被z轴截成的线段长的取值范围是[2,3);(3)问能否得出_厂(+3),f(m+3)中至少有一个数为正数?证明你的结论.参考答案利用二次函数,二次方程与二次不等式的关系,从"数"的角度进行严格的数学推理证明了相关结论,本文将充分利用二次函数的"形",通过以"形"助"数",大大简化其证明过程.证明(1)
4、a.+[f(m)+f(m.)]a+f(m1)f(m2)一0,即[口+厂()]?[日+-厂(.)]一0,也即f(m)一一Ⅱ或f(2)一一a,所以方程厂(z)一一a的实根为m或Ⅲz.由厂(1)一0即口+b+C一0和/2>6>C知a>0.c<0.从而可知,Y一(z)与=一a的位置如图2所示,故只需满足一a≥4ac—b4&'即b(6+4a)一b(3a—f)≥0, /j/—a图2由3a—c>0知6≥0.(2)由a>6≥o知对称轴～b∈(一丢,O],从而f(z)的图像被轴截成线段长为2E1一(～)]∈[
5、2,3).(下转第30页)网址:zxss.chinajourna1.net.cn●31●电子邮箱:zxss@chinajourna1.net.cn数才竞赛_.'富豢彰寸簟鲞学●■■■■_—0趣味教哆◇黪中学生数学?2011年6月上?第419期(高中)陕西师范大学数学与信息科学学院(710062)王商鸽有一个长长的纸条,里面有37个空格,要求在每个空格里填入一个自然数,从1到37,既不重复,也不遗漏.但数字不能随便乱填,有一项特殊要求:第1数能被第2数整除,第1数与第2数之和能被第3数整除;第1,2,3数之和能被第4数整除,……这个规律一
6、直要保持下去,直到前面36个数的和能被最后一个数整除为止.请问你会填吗?第1个数已给定为37.让我们从左到右来试试,根据要求,第l数必须被第2数整除,现在,37是个素数,所以第2数一看便知,只能填1.接下来,37+1—38,而38—2×19,于是第3数就有两种可能,或者填2,或者填19,有了分叉,当然还以继续做下去,但是分支越来越多,简直有点"歧路亡羊"的感觉,题目好像成了开放题,是否能一直做到底?不一定有把握,看来此路不通,我们须改变方向.我们知道一般的数列总是由左向右地书写的,但我们不妨逆向思维从右向左来试试,设最后的那个数为z,按
7、照题意,前面36个数之和应当被32整除,也就是说,这37个数的全部总和应当是32的倍数.由于1+2+3+…+36+37:=:一37×19,所以只能是厶37,19,或1,但37和1已经用过了,不能重复,最后一格没有别的可能性,非填19不可.继续进行"逆向"推算,设倒数第2格所填之数为,按照上述的推理,从左到右的36个数的总和应是Y的倍数,即37×19—19—36×19,所以可填36,当然36有许多因子,我们选最大的,类似地考虑倒数第3,第4个数,而每次都取最大的约数……这时我们观察到一种奇妙的现象:似乎每隔一格,数字就递减1,也就是说,从
8、后向前逆推,填进去的数应该是19,36,18,35,17,34,16,33,15,32,14,31,…21,3,2O,2…这就是"顺藤摸瓜",不过是逆向的.到此为止,已经写了35个数,此时我们要把规律略作改
