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《华中科技大学 微积分 极限习题课及答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、华中科技大学微积分极限习题课及答案导读：就爱阅读网友为您分享以下“华中科技大学微积分极限习题课及答案”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对92to.com的支持!例1求极限（1）limcosn→∞θ2cosθ2cos2θ2n，解θ=0时，极限为1；θ≠0时（n充分大时，sinθ2n，原式=lim≠0）sinθ2sinnn→∞θ2n=sinθθ。（2）lim(1+n→∞1n1n+1n1n2)n解先求n→∞limnln(1++)=limn(2n→∞1n11+1n2)=1，所以原式=e另法利用1+⎡1⎤1n1+1n+1n21+1n-1（3）limx⋅⎢x⎥x→
2、0⎣⎦解因为1⎡1⎤1⎡1⎤⎡1⎤1，即有-1≤+1⎢x⎥x⎢x⎥⎢x⎥≤xx⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡1⎤⎡1⎤当x0时，1-xx⋅，由夹挤准则得limx⋅，⎢x⎥≤1⎢x⎥=1x→0⎣⎦⎣⎦+同理limx⋅⎢⎥=1，故原极限为1。x→0⎣x⎦-⎡1⎤（4）limx→0x+cos1+xlncosx=lim+x→0解先求limx→01xx(cosx-1)=-12，原极限为e-1/2。e（5）limx-ex-exx→e.解原式=limeexlnx-eex→ex-e=elimeeexlnx-e-1x→ex-ee11lnx-ex-e)=elim=2eexlnx-ex-
3、ex→e=e(limxlnx-elnxx-ex→e+limx→e（6）233cos2coscos1limxxxxx-→.解分子为)3cosln312cosln21cosexp(ln1xxx++-~)3cosln312cosln21cos(lnxxx11++-,原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=→22203cosln312cosln21coslnlimxxxxxxx⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+--=→222013cos3112cos211coslimxxxxxxx[]332121=++=.练习（1）)sin(tanlimnxnxnnn-∞→（答案321x11）（2）xx
4、eexxeex--→sinlimsin0（答案e）（3）2cos2coscos1limxnxxxnx-→（答案)1(41+nn）（4）xxxxesin111)(lim2-→（答案1-e）（5）111()1()1)(1(lim-→----nxxxxx）（答案!1n）（6）)sin1sinlimxxx-++∞→（（提示和差化积，极限为0）（7）设)1,1(0•a-∈，1,21211≥+=-n•aann，求nnaaa21lim∞→。（提示：令()πθθ,0,cos0∈=a，则nna112cosθ=。）例2设Rx∈=α0，1,sin1≥=-nxxnn，求nn
5、x∞→lim解考虑[]1,1sin1-∈=αx，分三个情形：（1）若01=x，极限为0.（2）若01x，则112sinxxx=，易得1,sin11=--nxxxnnn，故数列单调递减有下界，极限存在。对1sin-=nnxx两边求极限得llsin=，从而0=l。（3）01x时，同理求得0=l。综上极限为0.例3设babyax==,0,011，且)(21,11nnnnnnyx•yyxx+==++证明nnx∞→limnny∞→=lim。分析问题中的递推公式互相关联，且平均值不等式（几何平均与算术平均）可用，考虑单调有界准则。证由于0,0nn•yx，且•xy
6、xyxynnnnnn,)(2111++=≥+=•xxxyx•xnnnnnn,1=≥=+,)(21)11(211nnnnnnyyyyxy=+≤+=+可知{}nx为单调增加数列，{}ny为单调减少数列，且•byxann,≤≤≤故数列{}nx{}ny极限都存在，设极限分别为BA,，对•yxynnn),(211+=+两边取极限得2/)(BAB+=，故BA=。注此题变化为：babyax==,0,011，且•yxyyxyxxnnnnnnnn,,211=+=++则nnx∞→limnny∞→=lim。例4求下列函数的间断点并判断类型：（1）.xxxxfsin)()(
7、π-=（2）.11)1()(---=xxexf解（1）无定义的点kkx,π=为整数.因为ππ-==+-)0(,)0(ff，所以0=x是跳跃间断点；因为,)sin(lim)(limππππππ-=--=→→xxxfxx所以π=x是可去间断点；1,0≠k时，πkx=是第二类间断点。思考：间断点将实轴分成子区间，函数在哪个子区间上有界？（2）无定义的点1=x及0=x.因为∞=-=-→→)1(lim/1)(lim100xxxxexf,故0=x是)(xf的无穷间断点.11又由于⎪⎭⎫⎝⎛+∞→-=-=-→--xx，efxxx10)1(lim/1)1(11因⎪⎭
8、⎫⎝⎛-∞→-=-=-→++xx，efxxx11)1(lim/1)1(11因故1=x是)(xf的跳跃间断点.
