微积分极限习题课

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1、第一章习题课一、主要内容二、计算三、典型例题一、主要内容函数极限连续基本初等函数函数函数的定义的性质复合函数奇偶性初等函数单调性有界性双曲函数与周期性分段函数反双曲函数1、函数的定义2、分段函数3、复合函数4、初等函数5、函数的简单性质（奇偶性、周期性、单调性、有界性）基本初等函数1）幂函数yx(是常数)x2）指数函数ya(a0,a1)3）对数函数ylogx(a0,a1)a4）三角函数ysinx;ycosx;ytanx;ycotx;5）反三角函数yarcsinx;yarccosx;yarctanx;yarccotx数列极限函数极限无穷大

2、两者的limxalimf(x)Alimf(x)Alimf(x)关系nnxxx0极限存在的无穷小左右极限无穷小的比较充要条件limf(x)0判定极限两个重要等价无穷小无穷小存在的准则极限及其性质的性质唯一性求极限的常用方法极限的性质概念1、极限的定义2、无穷小与无穷大3、无穷小的阶定理与性质4、定理:limf(x)Af(x00)f(x00)A.xx0（用来证明分段函数在分段点极限的存在性）5、极限的性质（运算性质、唯一性、保号性）6、limf(x)Af(x)A(x),lim(x)07、判定极限存在的准则（单调有界、夹逼准则

3、）8、无穷小与无穷大的关系9、无穷小的运算性质10、两个重要极限sinx(1)lim1x0x11xx(2)lim(1)elim(1x)exxx0连续定义间断点定义limy0limf(x)f(x0)x0xx0连续的第一类第二类左右连续充要条件可跳无振去跃穷荡间间间间在区间[a,b]连续函数的断断断断上连续运算性质点点点点初等函数闭区间上连续的连续性函数的性质概念1、连续的定义limy0,limf(x)f(x)0x0xx02、单侧连续3、间断点的定义及分类定理与性质4、连续的充要条件5、初等函数的连续性6、闭区间上连续函数的性质二、

4、计算1、用定义证明极限；2、证明数列极限存在，并求极限值；3、求极限；（已知函数的极限，确定a,b等）4、比较无穷小、判断无穷小的阶；5、讨论分段函数、函数的连续性；（利用连续性求函数表达式中的参数）6、求函数的间断点、判断其类型；7、讨论方程的根。求极限的常用方法a.利用极限运算法则（多项式与分式函数代入法求极限、消去零因子法求极限等）b.利用两个重要的极限；c.利用夹逼定理;d.利用无穷小与有界变量之积;e.利用等价无穷小；f.利用左右极限求分段函数极限;g.利用函数的连续性。常用等价无穷小:当x0时,x~sinx,x~tanx,x~arcsinxxx~arcta

5、nx,x~ln(1x),x~e1,12a1cosx~x,(1x)1~ax(a0)2三、典型例题例1设x1a,x2ax1,,xnaxn1,求limxnn11例2设x,求limxn22nnn1nn例3求极限(1)lim(cosx1cosx)x11x(2)lim(sincos)xxx(3)1cosx(4)limxx0(e1)ln(1x)12exsinx(5)lim()4x0x1ex例4设lim(312x2x3axb)0,x求a,b的值。例5n2例6x求f(x)lim(x0)

6、n22nx2n的间断点，并指出其类型。2x1例72x1x3x21讨论f(x)(1x)xox1的连续性。sinx1x0x例8证明方程x21至少有一个不超过1的正根。例9设f(x)在(,)内有定义，x,yR,f(xy)f(x)f(y),且f(x)在x0点连续，试证f(x)在（，）内处处连续。例10例11设f(x)对任意的实数满足f(x)f(x)1,且f(x)在x0处连续，试证f(x)必是常数。2n1xsinxabx2例12、设f(x)lim2nnx1求（1）f(x)的

7、表达式；（2）确定a,b的值，使得limf(x)f(1),x1limf(x)f(1).x1例13、设f(x)在(-,)上连续，且limf(x)x存在，证明：f(x)有界.作业：P771单数,5(2)(4)6(2)（3）,8,9,11(1)(2)，12，16