清华大学【微积分】极限习题课

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1、数列极限习题课1．用定义验证。解：方法一：先证。当n为偶数时，有：当n为奇数时，有：所以总有.要使，只要，即只要.取，当时就有。即都存在，当时就有，所以.方法二：先用数学归纳法证明：，当n＝1时成立。假设n时成立，即，在n＋1时，要使，只要，即只要.取，当时就有方法3，所以当时，。。有1．（利用夹逼定理）求极限。解：运用不等式技巧，试验夹逼准则。所以：又有：所以：当，。由夹逼准则，得到：1．利用极限的证明过程证明：。解：令其中k为小于n的自然数。两边取极限，则有：，对任意自然数k成立。当时，有：，等式不可能成立。此外：所以：，两边取极限，由夹逼准则：。2．设（易知数列收敛于e）.（

2、1）研究数列的单调性。解：所以数列单调减。（1）利用（1）的结果证明对于任意正整数都成立。解：，且单调减，单调增，，分别两边取对数：所以：1．设，，且数列单调减，证明。解：容易看出数列有界（，单调减）。同样因为数列单调减，于是：由夹逼准则：所以：7．（1）证明Stolz定理：设，，且，则。解：，因为，所以，有：，即取n=N+1，进行递推,即以上各式相加，得：即：同除以yn则：即：因为：所以，，时，，时，取，则对于，时，所以：（2）利用Stolz定理证明解：令则满足：，由Stolz定理，则有8．若数列满足：，则称数列有有界变差。（1）证明：有有界变差的数列必收敛。解：令，则数列单调增

3、，且有上界，所以数列收敛，则数列是柯西列。，有：所以：所以为柯西列，所以收敛。（2）收敛的数列是否必有有界变差？若是，证明之；若不是，请举出一个收敛但没有有界变差的数列的例。解：不是。反例：该数列收敛，但没有有界变差。证明：，，当时：（其中用到第5题的结论：）.9．设证明数列发散。证明因为所以假设数列收敛，记则展开：所以数列也收敛。记则即再将展开：两边取极限：即从而有代入（1），在恒等式两边取极限：矛盾！10．已知，证明存在。证明，所以，所以数列有界。记。下面证明因为A是下界，所以因为A是下确界，所以当时，记，记则记令则有11．（1）已知函数在任意有穷区间有界，证明（2）在（1）的

4、基础上，增加条件证明证明（1）只证明的情形。因为所以当时，各式相加得因为在任意有穷区间有界，所以有因为所以因为所以令则当时有所以（2）记由（1）可知，设证明函数在一致连续当且仅当函数在一致连续。证明先设在一致连续。因为所以因为在一致连续，所以因为在一致连续，所以令，若则只有两种可能：1）从而因为2）从而因为所以综上，在一致连续。再设在一致连续。因为所以因为由上面的论述可知，函数在一致连续。1．用定义验证1）；2）；3）2．设在区间上有定义。证明在上一致连续的充要条件是：对于满足的任何序列，都有。3．函数在是否一致连续？证明你的论断。4．设函数在区间连续并有界。证明：对于任意的数，可

5、以找到序列满足，且。证明：令g(x)=f(x+T)-f(x)1）若存在M>0，使得任给的x≥M，有g(x)≥0（或≤0）如果T≥0，取xn=M+nT，此时xn≥M，xn+1=xn+T，f(xn+1)-f(xn)=f(xn+T)-f(xn)=g(xn)≥0则数列f(xn)单调递增；如果T<0，取xn=M-nT，此时xn≥M，xn+1=xn-T，f(xn-1)-f(xn)=f(xn+T)-f(xn)=g(xn)≥0则数列f(xn)单调递减。两种情况下都有数列f(xn)单调，且由条件f(x)连续有界，所以数列f(xn)单调有界必收敛，则2）若任给M>0，都存在y1,y2≥M，不妨设y1>

6、y2，满足g(y1)g(y2)<0则由零点存在定理，存在令M=1,2,…我们找到了数列{xM}满足g(xM)=f(xM+T)-f(xM)=0，且xM≥M即，且。