微积分 第一章习题解答(下)

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1、习题1—1解答1.设,求解;2.设,证明:3.求下列函数的定义域,并画出定义域的图形:(1)(2)(3)(4)yx11-1-1O解(1)yx11-1-1O(2)18yx-a-bcOzab(3)(4)yx1Oz114.求下列各极限:(1)=(2)(3)(4)5.证明下列极限不存在:(1)(2)(1)证明如果动点沿趋向则;如果动点沿趋向,则18所以极限不存在。(2)证明:如果动点沿趋向则;如果动点沿趋向,则所以极限不存在。6.指出下列函数的间断点:(1);(2)。解(1)为使函数表达式有意义,需,所以在处,函数间断。(2)为使函数表达式有意义,需,所以在处,

2、函数间断。习题1—21.(1);.(2)(3),lnz=yln(1+xy),两边同时对y求偏导得;(4),18(5);(6),,;2.(1);(2).3,.4.5.(1),,;(2),,,;(3),,;18(4),,.6.设对角线为z,则,,当时,=-0.05(m).7.设两腰分别为x、y,斜边为z,则,,,设x、y、z的绝对误差分别为、、,当时,=0.124,z的绝对误差z的相对误差.8.设内半径为r,内高为h,容积为V,则,,,,当时,.习题1—31.==.182.====.3.(1)=,=.(2)=,=,=.(3)=,=,=.(4)==,=.4.(

3、1),,,,(2),,.185,,,.6(1)设,,,,,=,=,18=,,(3)设,,=,=.(4)设,,,,7.设,,,,,1.8.设,,.9.(1)方程两边同时对x求导得解之得18(2)方程两边同时对z求导得解之得(3)方程两边同时对x求偏导得解之得同理方程两边同时对y求偏导得解之得习题1-41.求下列函数的方向导数(1)解:(2)解:18(3)与轴夹角为解:由题意知则(4)1.求下列函数的梯度(1)18解:,)(2)解:,)。1.一个登山者在山坡上点处,山坡的高度z由公式近似,其中x和y是水平直角坐标,他决定按最陡的道路上登,问应当沿什么方向上登

4、。解:按最陡的道路上登,应当沿(3,4)方向上登。2.解:沿方向3.解:设路径为,在点处在点的切向量为平行于切向量因为过18习题1-51、求曲线在对应于点处的切线及法平面方程。解:当时,,故所求切线方程为:,即:法平面方程为:即:2、求下列空间曲线在指定点处的切线和法平面方程(1)在点解:将方程两端对x求导,得在处故所求的切线方程为:法平面方程:(2)在点解法1:将方程两端对x求导,得Þ当时,有,18故所求的切线方程为:法平面方程:即:解法2:将方程组两端求微分:得∴曲线在点处的切向量为3.(题略)解:(1)令F(x,y,z)=arctg-z,=-1,曲

5、面在点P的切平面方程为:-,即:x-y-2z-=0;法线方程为:,即:;(2)令则,,曲面在点(1,1,1)点处的切平面的法向量为:故所求的切平面方程为:即:法线方程为:(3)令F(x,y,z)=2+2-8,=-16ln2,曲面在点P的切平面方程为:4ln2(x-2)-4ln2(y-2)-16ln2(z-1)=0,即:x-y-4z=0,法线方程为:,即:184、解:,又∵抛物线在(1,2)点处的切线斜率为:∴抛物线在(1,2)点处偏向x轴正向的切线方向为∴故所求的方向导数为:习题1-61(题略).解:由,有x=2,y=-2,即P(2,-2)为f(x,y)

6、的驻点,又D(P)=4>0,=-2故P(2,-2)为f(x,y)的极大值点,其极大值为f(2,-2)=8.2(题略).解:由有驻点:(5,6)和,而∴在点(5,6)取得极小值又∵∴在点不取得极值183、求在闭区域上的最大值和最小值解:由,得唯一驻点(0,0)又∵在边界即椭圆上,由,得驻点:∴所有可能的极值点为:(0,0)(2,0)(-2,0)(0,-1)(0,1)相应的函数值为:044-1-14、求抛物线和直线之间的最短距离。解:设P(x,y)为抛物线上任意一点,它到直线的距离为,d最小当且仅当最小此问题即是求在条件下的最小值。解法1(用拉格朗日乘数法)

7、设由,即得唯一驻点故由实际问题知抛物线和直线之间的最短距离在在,为:解法2(转化为无条件极值)设抛物线上点,它到直线的距离为18∵d最小当且仅当最小设∴Þ唯一驻点∴当时,有极小值,从而该极小值就是所求的最小值(∵唯一驻点)∵=故抛物线和直线之间的最短距离为5、求抛物线被平面截成一椭圆,求原点到此椭圆的最长与最短距离。解:设椭圆上任意一点为(x,y,z),它到原点的距离为此问题即是求在条件下的最大值和最小值。令由由①-②得若代入①,得,18再代入④,<0,不合题意,有代入④,⑤由,解得,∴驻点为:和∴,由实际问题知,所求最大值和最小值存在,分别为和6(题略

8、).解:设圆柱高为H,圆锥高为h,圆柱圆锥底半径为r,则浮标体积V=,故:3V-

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