平面向量数量积运算的解题方法与策略

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1、平面向量数量积运算的解题方法与策略平面向量数量积运算一直是高考热点内容，它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法上尤为有突出的表现,而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键，同时平面向量数量积的运算结果是实数而不是向量,因此要注意数量积运算和实数运算律的差异,本文仅举数例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。1.利用数量积运算公式求解在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛,即(a＋b)２＝a２＋２a·b＋b２，（a－b）２＝a２－２a·b＋b２上述两公式以及(a＋b)(a－b)＝a２－b２这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用.

2、例1已知｜a｜＝２，｜b｜＝５，a·b＝－３，求｜a＋b｜，｜a－b｜.解析：∵｜a＋b｜２＝（a＋b）２＝a２＋２a·b＋b２＝２２＋２×（－３）＋５２＝２３∴｜a＋b｜＝，∵（｜a－b｜）２＝（a－b）２＝a２－2a·b＋b２＝2２－2×（－3）×５２＝35，∴｜a－b｜＝．例2已知｜a｜＝8，｜b｜＝10，｜a＋b｜＝16，求a与b的夹角θ(精确到１°).解析：∵（｜a＋b｜）２＝（a＋b）２＝a２＋2a·b＋b２＝｜a｜２＋2｜a｜·｜b｜ｃｏｓθ＋｜b｜２∴１６２＝８２＋２×８×１０ｃｏｓθ＋１０２，∴ｃｏｓθ＝，∴θ≈５５°例3已知a＝（3，4），b＝（4，3），求

3、x,y的值使(xa+yb)⊥a，且｜xa+yb｜=1.分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.解：由a＝（3，4），b＝（4，3），有xa+yb=(3x+4y,4x+3y)又（xa+yb）⊥a(xa+yb)·a＝０3(3x+4y)+4(4x+3y)=0即25x+24y＝０①又｜xa+yb｜=1｜xa+yb｜２＝１（３x+4y）２＋（４x+3y）２＝１整理得：25x２＋48xy+25y２＝１即x(25x+24y)+24xy+25y２＝１②由①②有24xy+25y２＝１③将①变形代入③可得：y=±再代回①得：92.利用定义直接求解.例4若向量满足，的夹角为45°，则=___

4、___.解析：根据数量积的定义得，例5设向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围.解析：∵，故，解之．另有，解之，∴．例6如图,已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是（）（A）（B）（C）（D）解析：选项中均有向量，根据数量积的几何意义，要找的最大值,只需求在方向上的投影最大即可，画图可知只有在方向上的投影最大，故最大选A.3.利用数量积的定义、性质、运算律求解例7判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝

5、ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.分析：根据数量积的定义、性质、运算律，逐一判断.解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0；对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜ｃｏｓθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜9ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０；对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс

6、＝（ｂ·с）ａ若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.4.借助零向量.即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理使用向量的移项以及平方等变形，求解数量积.例8已知△ABC中，，若，求证：△ABC为正三角形.证明：，∴，又∵，，故，知a=b，同理可知b=c，故a=b=c，得证．例9已知平面上三点A、B、C满足则的值等于。解析：注意到∵，两边平方得所以=−255.借助平行向量与垂直向量.即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直条件关系或平行向量关系的向量数量积，借助，则等解决问题.例10已

7、知向量a＝（3，－4），b＝（2，x），c＝（2，y）且a∥b，ac．求

8、b－c

9、的值．解析：∵a∥b，∴3x＋8＝0．∴x＝．∴b＝（2，）．∵ac，∴6－4y＝0．∴y＝．∴c＝（2，）．而b－c＝（2，）－（2，）＝（0，－），∴

10、b－c

11、＝．9例11如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中心，问与的夹角θ取何值时·的值最大？，并求出这个最大值.解析：∵⊥∴·=0又∵=－，=－,=－,∴·=(－)·(－)=·－·－·+·=－a2－·+·=－a2+(－)=－a