(-)第二类曲线与曲面积分

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1、第十章第二类曲线与曲面积分§1.1第二类曲线与曲面积分网络图第二类曲线与曲面积分第二类曲线.积分概念性质计算曲线积分与路径无关性第二类曲面.积分概念性质计算各类积分的联系格林公式高斯公式斯托克斯公式应用功环流量流量场论散度旋度§1.2内容提要与释疑解难一、第二类曲线积分定义若矢量函数与曲线上点(x,y,z)处切线的单位矢量(且的方向指定的方向一致)的点乘积在上的第一类曲线积分存在该积分值称为沿曲线从A到B的第二类曲线积分。的物理意义是：当流体流速为沿闭合曲线指定的方向通过的环流量。注：由定义知第二类曲线积分是特殊的第一类曲线积分。若把.·367·看成数量函数，这个积分也具有第一类曲线积分的性质

2、。由定义容易得到下面两个性质性质1注：等式左右两边的正好相差一个符号。性质2若有向曲线是由有向曲线，首尾相接而成，则记注：是ds在x轴上的有向投影，当为锐角，，当为钝角，，，而是ds分别在y轴，z轴上的有向投影，从而第二类曲线积分五种形式之一出现：而常常以形式出现的较多，如果是直接计算，不论是给哪一种形式出现，都需化成的形式（最后一种形式和上面形式实际上是相同的）若曲线，为光滑曲线且起点A对应的参数为，终点B对应的参数为，则必须注意，公式中的，一定要与曲线的起点A终点B相对应。即化成t函数的定积分时，积分的下限必须是起点A对应的参数，积分的上限必须是终点B对应的参数，至于上下限谁大谁小不受限制

3、，这一点与第一类曲线积分化为一元函数定积分时，下限一定小于上限的限制是不同的。而平面上的第二类曲线积分，是空间第二类曲线积分的特殊情况，这是，，即为格林（Green）公式若函数在有界闭区域D上具有连续的一阶偏导数，则·367·，这里为区域D的边界曲线，并取正向。格林公式也可借助行列式来记忆.注意：这里与Q乘积指的是定义没有洞的平面区域，称为平面单连通区域，有洞的连通区域称为复连通区域。定理设在单连通区域D内，P，Q具有连续的一阶偏导数且则环绕同一些洞（如图10-1）的任何两条闭曲线（取同方向）上的曲线积分相等。平面曲线积分与路径无关性定理设是平面单连通区域，若函数在区域D内具有连续的一阶偏导数

4、，则以下四个条件等价：（1）沿D中一按段光滑的闭曲线L，有；图10-1（2）对D中任一按段光滑曲线，曲线积分与路径无关，只与的起点和终点有关；（3）是D内某一些函数的全微分，即在D内存在一个二元函数，使，即；（4）在D内每一点处，有斯托克斯（Stokes）公式设光滑曲面S的边界曲线L是按段光滑的连续曲线，若在S（连同L）上具有连续的一阶偏导数，则其中S的侧面与L的方向按右手法则确定由定理的证明过程可知，只要以L为边界且符合定理条件的曲面S，结论都成立，从而我们在利用Stokes公式时，寻找以L为边界的较简单曲面S，比如平面上的圆面，椭圆面，三角形平面或球面等等，以利于解决问题。定义若空间区域V

5、中任意的封闭曲线L，都可以找以L为边界的曲面，则V·367·为线单连通区域。空间曲线积分与路径无关性定理设为空间线单连通区域，若函数P、Q、R在上具有连续的一阶偏导数，则以下四个条件是等价的：（1）对于内任一按段光滑的封闭曲线L，有；（2）对于内任一按段光滑的曲线，曲线积分与路径无关，仅与起点、终点有关；（3）是内某一函数的全微分，即存在内的三元函数，使，即；（4）在内处处成立。即，其中.二、第二类曲面积分定义若矢量函数与曲面S在曲面上点处单位法向量（的方向与曲面S指定的方向相同）的点乘积在S上的第一类曲面积分存在，该积分值称为沿定侧曲面S上的第二类曲面积分。的物理意义是当流速为的不可压缩流体

6、，通过封闭曲面S沿指定侧的S流量。由定义知第二类曲面积分是特殊的第一类曲面积分，若把看成一个数量函数，这时为第一类曲面积分，也具有第一类曲面积分的性质。由定义知第二类曲面积分具有下面两条性质性质1。性质2其中S1，S2的侧与曲面S的侧相同且S=S1+S2，S1，S2只有公共边界。设，其中，称为dS·367·在Oxy平面上的有向投影，当r为锐角时，，当r为钝角时，，当时，。我们可以证明。事实上，当r为锐角时，知，当r为钝角时，知，当r为时，知。从而同理可知，，且，其中第二类曲面积分常常以下面五种形式之一出现：如果是直接计算，无论是以哪一种形式给出，一定要化下面形式来计算，而且每一项要分别计算再相

7、加，我们以计算为例。要求光滑曲面S一定要表示成（其中xy是曲面S在Oxy平面上的投影区域），且要求曲面S上每一点（x,y,z）处的法向量与Oz轴的夹角或者全是锐角或者全是钝角（曲面上个别曲线的法向量可以为）或者全是。如果做不到上述要求，需把S分成几块，使得每一块能做到上述要求，然后根据第二类曲面积分性质，把S上的第二类曲面积分化为小块曲面上的第二类曲面积分，计算之再相加之即可。·367·现假设S符