第二类曲线与曲面积分

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1、第二类曲线与曲面积分（一）基本概念1.第二类曲线积分定义6.5若矢量函数与曲线上点(x,y,z)处切线的单位矢量(且的方向指定的方向一致)的点乘积在上的第一类曲线积分存在该积分值称为沿曲线从A到B的第二类曲线积分。的物理意义是：当流体流速为沿闭合曲线指定的方向通过的环流量。注：由定义知第二类曲线积分是特殊的第一类曲线积分。若把.看成数量函数，这个积分也具有第一类曲线积分的性质。由定义容易得到下面两个性质性质1注：等式左右两边的正好相差一个符号。性质2若有向曲线是由有向曲线，首尾相接而成，则记注：是ds在x轴上的有向投影，当为锐角，，当为钝角，，，而是ds分别在y轴，z轴上的有向投影，从而第

2、二类曲线积分五种形式之一出现：而常常以形式出现的较多，如果是直接计算，不论是给哪一种形式出现，都需化成的形式（最后一种形式和上面形式实际上是相同的）·306·若曲线，为光滑曲线且起点A对应的参数为，终点B对应的参数为，则必须注意，公式中的，一定要与曲线的起点A终点B相对应。即化成t函数的定积分时，积分的下限必须是起点A对应的参数，积分的上限必须是终点B对应的参数，至于上下限谁大谁小不受限制，这一点与第一类曲线积分化为一元函数定积分时，下限一定小于上限的限制是不同的。而平面上的第二类曲线积分，是空间第二类曲线积分的特殊情况.定义6.6没有洞的平面区域，称为平面单连通区域，有洞的平面区域称为复

3、连通区域。定义6.7若空间区域V中任意的封闭曲线L，都可以找以L为边界的曲面，则V为线单连通区域。2.第二类曲面积分定义6.8若矢量函数与曲面S在曲面上点处单位法向量（的方向与曲面S指定的方向相同）的点乘积在S上的第一类曲面积分存在，该积分值称为沿定侧曲面S上的第二类曲面积分。的物理意义是当流速为的不可压缩流体，通过封闭曲面S沿指定侧的S流量。由定义知第二类曲面积分是特殊的第一类曲面积分，若把看成一个数量函数，这时为第一类曲面积分，也具有第一类曲面积分的性质。由定义知第二类曲面积分具有下面两条性质性质1。性质2其中S1，S2的侧与曲面S的侧相同且S=S1+S2，S1，S2只有公共边界。3.

4、场论定义6.9设，且P,Q,R偏导数存在，称函数为向量函数在点M（x,y,z）的散度，记作即·306·散度具有线性运算法则，即其中为常数，为向量函数，利用散度的概念，高斯公式可写成下列简洁形式定义6.10若有，称为无源场，并有下面两个推论。定义6.11设，且P,Q,R具有一阶偏导，称矢量函数为矢量函数在点M（x,y,z）处的旋度，记作，即或者形式可写成以便记忆.旋度也具有线性运算法则，即此时斯托克斯公式可写成（二）重要定理与公式定理6.2（格林（Green）公式）若函数在有界闭区域D上具有连续的一阶偏导数，则，这里为区域D的边界曲线，并取正向。格林公式也可借助行列式来记忆.注意：这里与Q乘

5、积指的是定理6.3设在单连通区域D内，P，Q具有连续的一阶偏导数且则环绕同一些洞（如图10-1）的任何两条闭曲线（取同方向）上的曲线积分相等。平面曲线积分与路径无关性定理设是平面单连通区域，若函数在区域D·306·内具有连续的一阶偏导数，则以下四个条件等价：（1）沿D中任一按段光滑的闭曲线L，有；（2）对D中任一按段光滑曲线，曲线积分与路径无关，只与的起点和终点有关；（3）是D内某一些函数的全微分，即在D内存在一个二元函数，使，即；（4）在D内每一点处，有定理6.4（斯托克斯（Stokes）公式）设光滑曲面S的边界曲线L是按段光滑的连续曲线，若在S（连同L）上具有连续的一阶偏导数，则其中S

6、的侧面与L的方向按右手法则确定由定理的证明过程可知，只要以L为边界且符合定理条件的曲面S，结论都成立，从而我们在利用Stokes公式时，寻找以L为边界的较简单曲面S，比如平面上的圆面，椭圆面，三角形平面或球面等等，以利于解决问题。定理6.5（空间曲线积分与路径无关性）设为空间线单连通区域，若函数P、Q、R在上具有连续的一阶偏导数，则以下四个条件是等价的：（1）对于内任一按段光滑的封闭曲线L，有；（2）对于内任一按段光滑的曲线，曲线积分与路径无关，仅与起点、终点有关；（3）是内某一函数的全微分，即存在内的三元函数，使，即；（4）在内处处成立。即，其中.·306·设，其中，称为dS在Oxy平面

7、上的有向投影，当r为锐角时，，当r为钝角时，，当时，。我们可以证明。事实上，当r为锐角时，知，当r为钝角时，知，当r为时，知。从而同理可知，，且，其中第二类曲面积分常常以下面五种形式之一出现：如果是直接计算，无论是以哪一种形式给出，一定要化下面形式来计算，而且每一项要分别计算再相加，我们以计算为例。要求光滑曲面S一定要表示成（其中xy是曲面S在Oxy平面上的投影区域），且要求曲面S上每一点（x,y,z）处的法向量与Oz轴