《导数及其应用》单元总结

《《导数及其应用》单元总结》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、【导数及其应用】单元总结一、导数的概念：1、平均变化率：ox1x2xyy2y1y=f(x)△x△y设函数，当自变量x由x1变到x2时，变量y相应由y1变到y2，则，称为函数从x1到x2的平均变化率（其中记，）2、导数的概念：ox0x0+△xxyf(x0+△x)f(x0)y=f(x)△x△y当自变量x由x0变到x0+△x时，函数的平均变化率为，当△x→0时表示函数在x=x0处的瞬时变化率，称为函数在x=x0处的导数。记作：或。叫做函数的导函数。3、导数的几何意义和物理意义：（1）物理意义：对于质点运动方程在t=t0处的导数就是质点在时间为

2、t0时的瞬时速度；（2）几何意义：对于函数在x=x0处的导数就是曲线在x0处的切线的斜率k.二、导数的计算：1、基本初等函数的求导公式：基本函数导数基本函数导数..第7页2、导数的四则运算法则：（1）两个函数的和（或差）的导数：.（2）两个函数的积的导数：,.（3）两个函数的商的导数：（g(x)≠0）.3、复合函数的导数：设，则复合函数的导数为：.练习题：1、求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）2、若，则.3、已知，则.4、设函数，若=4，则a=.5、若质点的运动方程为，则质点

3、在t=1时的瞬时速度为.6、子弹在枪管中的运动可看作匀加速直线运动，若a=5×105m/s2，子弹从枪口射出时所用时间为1.6×10-3s，则子弹射出枪口时的速度为.7、函数的图象在点处的切线的斜率为.8、函数的图象在点x=1处的切线方程为.第7页9、过点P(-1,2)且与曲线y=x2在点M(1,1)处的切线垂直的直线方程是.10、过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程是.11、已知曲线的一条切线平行于直线y=3x-5，则切点坐标为.12、已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3)，则b的值为.13、若曲线

4、y=x3-2x+m与直线y=x+1相切，则常数m等于.14、已知直线和均与曲线y=x2-x相切，且⊥，的切点为A(1,0)，求直线的方程.三、导数在研究函数的应用oxyy=f(x)（一）函数的单调性与导数：1、在区间(a,b)内，若，则f(x)在(a,b)上是增函数；若，则f(x)在(a,b)上是减函数；2、越大，曲线越“陡峭”，越小，曲线越“平缓”.练习题：1、求下列函数的单调区间，并描出函数的大致图象：（1）（2）（3）（4）2、函数的递增区间是；函数的递减区间是.oxy12oxy12Aoxy12Boxy2Coxy2D3、设是函数的

5、导函数，的图象如左图所示，则的图象可能是()4、下列函数中，在(0,+∞)内是增函数的是()A.B.C.D.5、函数y=xlnx在区间(0,1)上()第7页A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增6、对于R上可导函数f(x)，若满足，则①；②；③；④中一定成立的是.7、若函数在（-∞,+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是.8、已知函数在区间[2,+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是.9、如图，水以恒速注入下面四种底面积相同的容器中，则与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系的图象分别是.①②③④oxyAoxyBoxyCox

6、yDoxyx1x2x3x4x5y=f(x)（二）函数的极值与导数：1、对于函数，若且①在x0附近左增（）右减（），则是极大值，此时x0叫极大值点；②在x0附近左减（）右增（），则是极小值，此时x0叫极小值点；2、注：①函数的极值是刻画函数的局部性质，一个函数可能有多个极值，且极大值不一定大于极小值；oxyy=x3②若，x0不一定是函数的极值点，如，，是单调增函数，虽有，但x=0不是函数的极值点。练习题：第7页1、求下列函数的极值：（1）（2）（3）（4）2、已知函数在x=-2和x=1处取得极值，则的解析式为.3、函数在x=1时有极值2，

7、则a=，b=.4、已知既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是.5、已知函数（1）求的极值；（2）若曲线与x轴仅有一个交点，求实数a的取值范围.xybx1ax2x3x4y=f(x)（三）函数的最值与生活中的优化问题：1、若函数在闭区间[a,b]上连续可导，则函数在区间[a,b]内必有最大值和最小值。在各极值和区间端点函数值f(a)和f(b)中，最大者为最大值，最小者为最小值。2、生活中常见的优化问题：①利润最大问题；②费用（材料）最省问题；③面积、体积最大问题.解决生活中优化问题的方法是：建立数学（函数）模型，利用函数的最大（小）值求

8、解，要注意实际问题的意义（函数的定义域等）。练习题：1、求下列函数在给定区间上的最大（小）值：（1）（2）（3）（4）2、函数的值域是.3、已知y=2x+7，则3x2+y2的最小值为.4、函数f(x)=x2