单元二 导数及其应用

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1、单元二导数及其应用项目4导数案例驱动：设平面曲线的方程为，求曲线上某点处的切线斜率.导数与微分是微分学的两个基本概念,本章从实际问题引入一元函数的导数与微分的概念,讨论其计算方法，应用导数研究函数以及曲线的某些性质，并利用这些知识解决一些实际问题.任务4-1：导数的概念2.1导数的概念2.1.1引例首先给出曲线的切线的概念.定义2.1设点是平面曲线上的一个定点，点是上的动点，当点沿曲线无限趋近点时，如果割线存在极限位置，则称直线为曲线在处的切线，如图2-1所示.案例2.1设平面曲线的方程为，求曲线上某点处的切线斜率.解在曲线上点的邻近任取点，则割线的斜率为其中是割线的倾斜角，当点沿曲线无

2、限趋近点时，即当时，如果割线的极限位置的倾斜角为，则的斜率.2.1.2导数的定义在上面两个引案例中,虽然具体意义不同,但所解决问题的方法和步骤都是一样的,即（1）对应于自变量的增量求出函数的增量（2）算出函数的增量和自变量增量的比值（称为函数的平均变化率）（3）当自变量的增量时，求比值的极限（称为函数在一点的变化率或瞬时变化率）.经过这样的抽象，我们就得到了微分学的基本概念——导数的概念.定义2.2设函数在点的某一邻域内有定义，在处给自变量一个增量且，相应地函数有增量，如果极限（2-1）存在，则称函数在点处可导，并称此极限值为函数在点处的导数，或称函数在处的变化率，记作，即也可以记作,或

3、如果极限（2-1）不存在，则称函数在处不可导.令则，当时，有，因此函数在点处的导数也可表示为(2-2)根据导数的定义，上述两个引案例的结果可分别表示为：（1）曲线上点处的切线斜率（2）变速直线运动的质点在时刻的瞬时速度就是位置函数在处的对时间的导数，即案例2.2求函数在点的导数.解对于自变量在点处的增量相应的函数的增量为因此,所以如果函数在区间内的每一点都可导，则称函数在区间内可导，这时，对于内的每一个确定的值，都对应着一个确定的函数值,于是就确定了一个新的函数,称函数为函数的导函数，用、或等来表示，即在不致发生混淆的情况下，导函数也简称导数.由导数的定义可知，求函数的导数的一般步骤如下

4、：（1）求增量：（2）定比值：（3）取极限:根据上述三个步骤求一些简单函数的导数.案例2.3求函数的导数.解（1）求增量：；（2）定比值：；（3）取极限:；即.可以证明，对幂函数（为实数）有，特别地有，（为常数），即：常数的导数为零.案例2.4求函数的导数。解（1）求增量：；（2）算比值：；（3）取极限：；即.同理可得：.2.1.3基本初等函数的求导公式为了便于应用，我们把基本初等函数的求导公归纳如下：（1）（为常数）（2）（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）.2.1.4导数的几何意义在导数定义后已经

5、指出，曲线上点处切线的斜率为.因此导数的几何意义是曲线上点处切线斜率.过切点且垂直于切线的直线称为曲线在点处的法线.如果曲线在点处可导，则曲线在点处的切线方程与法线方程分别为和案例2.5求曲线在点（1，1）处的切线方程及法线方程.解由导数的几何意义可知，曲线在点（1,1）处的切线斜率为，故切线方程为,即；法线方程为：,即.2.1.5导数与连续的关系定理2.1如果函数在处可导，则在处连续.证在处给自变量一个增量，函数相应地有增量，因为在处可导，即，得这就是说，函数在点处连续.注意：这个定理的逆命题不成立，也就是说一个函数在某一点连续，它不一定在该点处可导.案例如函数在处连续，但它在点处不可

6、导，这因为在处有因而,，于是不存在.所以函数在处不可导，如图2-3曲线在原点处没有切线.由上面讨论可知，函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件.如果极限存在，则称此极限值为在点处的右导数，记作.如果极限存在，则称此极限值为在点处的左导数，记作.单元二练习11．设，求下列各极限：（1）；（2）.2．如果在点处可导，求.3．求下列函数的导数（1）；（2）.4．求曲线在点（2，8）处的切线方程和法线方程.5．问，取何值时,才能使函数在处连续且可导.6．设函数,讨论函数在处的连续性与可导性.任务4-2：导数的运算法则2.2导数的运算法则2.2.1导数的四则运算法则定理2.2设,

7、在点处都可导，则函数在点处也可导，并且有(1)；(2)；(3)；(4).案例2.6设，求.解案例2.7设，求.解案例2.8设，求解2.2.2复合函数的求导法则定理2.3设函数在点处可导，函数在对应点处可导，则复合函数在点处也可导，且有或（证明从略）案例2.9设，求.解函数不是基本初等函数，不能直接用基本初等函数的导数公式求导，而是,的复合函数，所以复合函数的求导法则也称为链式法则，它也可用于多次复合的函数，对复合函数的复合过程熟练后