三角形＂四心＂问题与向量的关系

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1、2015年第6期福建中学数学45观察力的培养就是空谈．部分，再由部分到整体，即先要对事物有一个整体因此高三备考复习时不能只是简单地重复，而的大致的把握，然后再观察它们的各个部分，以及且在重复中要有所创新，笔者认为在备考教学中，部分与部分、部分与整体的关系．对于一些有连续是引导学生掌握科学的观察方法，培养良好的观察性的事物或活动，更要引导学生有步骤、有顺序地习惯的绝好机会，不可错过．一方面因为由于高中去观察，从而达到快速实现解题目标．数学内容已学完，在处理数学问题时，学生有能力总之，在“题海战术”式的复习模式大行其道的今可以进行一题多解，去引导学生从不同角度进行观天，提醒广大教师在高三备

2、考复习中，仅以“大量做察，以发现解决问题的不同方案；另一方面，可通题”来提高学生能力，是不明智的做法，要教给学生过观察条件与求解目标的差异，为了消除差异，可“渔”，而不是一个个“鱼”，其中观察能力是学习数学作出定向变换，在变换的过程中，教师可引导学生的必不可缺少的一种能力，理应受到重视，只有这该如何观察，如观察时要分清主次，可先有整体到样，才能做到科学、高效备考．三角形“四心’’问题与向量的关系严渊四川省苍溪中学校(628400)向量兼具数与形的特征，很多几何图形的性质也为AABC的中线，所以0是AABC的重心，故如果用向量表达，可以得到独特的形式．例如，高选C．中数学中我们经常会用向

3、量表达三角形的性质．其例2已知0是平面上的一定点，，B，C是平面中，三角形的“四心”与向量有着千丝万缕的关系，是上不共线的三个点，动点P满足：一OA+(—向量与三角形的交汇点，是高考命题的一个热点．ffsinB下面就对三角形“四心”的向量问题，作一较为系统地梳理．+赢∈【o，+o。)，动点P的轨迹一定通过1三角形的重心与向量AABC的()三角形三条中线的交点叫重心，它到三角形顶A．重心B．垂心C．外心D．内心点距离与该点到对边中点距离之比为2：1．在向量表达形式中，设点G是,5ABC所在平面内的一点，则当解由已知可得=+)，点G是AABC的重心时，有GA+GB+GC=0或．⋯1．一由正

4、弦定理知jABIsinB：IAClsinC，P：T=二PG=÷(+船+PC)(其中P为平面内任意一jI邶点)．反之，若GA+GB+GC=0，则点G是AABC的·(AB+AC)，设BC的中点为D，则由平行四边形法重心．A(AB+AC)，∈[0，+∞)是BC边上的中线则可知点P在BC的中线AD所在的射线上，所以动AD上的任意向量，必过重心．点P的轨迹一定通过&dBC的重心，故选A．例1已知D是AABC所在平面上的一点，若2三角形的垂心与向量OA+OB+OC=0，则D点是AABC的()三角形三条高线的交点叫垂心．它与顶点的连A．夕心B．内心C．重心D．垂心线垂直于对边．在向量表达形式中，若是

5、AABC的解若OA+OB+OC=0，贝ⅡOA+OB=一OC，以垂心，则HA·HB：HB·HC=HC·HA或+c‘=OA，OB为邻边作平行四边形OAGB，设OCl与AB丽+=丽+．反之，若厕．历：面．蔚交于点D，则D为AB的中点，有OA+OB=OC，：HC·HA，则是A／IBC的垂心．得oc,=一OC，即C，0，D，G四点共线，同理AE，设(0，佃)，则向量+)46福建中学数学2015年第6期必垂直于边BC，该向量必通过A,4BC的垂心．例3已知D点是AABC所在平面内一点，OA．解由已知得=(号+AC)，是OB=OB·OC=OC·OA，则D点是AABC的()方向上的单位向量，是AC方向

6、上的单位向量，A．夕f’心B．内心C．重心D．垂心IACl解由OA．OB=OB·OC，则OA．OB—OB．OC=0，根据平行四边形法则知以与为邻边构成即OB·(OA—oc)：0，得OB·CA=0，所以OB上CA．IABfIAC{同理可证OC上AB，OA上BC，．’．0是AABC的的平行四边形是菱形，点P在ZBAC的角平分线上，的垂心，故选D．故点P的轨迹过AABC的内心，故选B．例4已知D是平面上的一定点，，B，C是平面例6已知D点是AABC所在平面上的一点，若一PO：—aPA+bPBD+cPC(其中P是c所在平面内上不共线的三个点，动点P满足OP：+(—一——_—一a+D+clAB『

7、COSB任意一点)，则D点是AABC的()++—『====—『————一)l，’(0，+o。)，则动点P的轨迹一定通A．外心B．内心C．重心D．垂心ACCOSC过AABC的()解由已知得：+一bPB+cPC-cPA-bPAa+D+cA．重心B．垂心C．外心D．内心一bAB+cAC：PA+——。解由已知得=+)，以+D+c1nu1u上J1n1ubAB+cAC．：——：丝(+1．．．．：f：皇+：1．．口+b+Ca+b+CCb『ABIcosB『AC