三角形“四心”向量问题

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1、www.mzedu.com谢胜青向量专题复习江西省特级教师龚晓洛一、与三角形“四心”相关的向量问题题1：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,.则P点的轨迹一定通过△ABC的A.外心B.内心C.重心D.垂心解：由已知得，是方向上的单位向量，是方向上的单位向量，根据平行四边形法则知构成菱形，点P在∠BAC的角平分线上，故点P的轨迹过△ABC的内心，选B.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m练习：在直角坐标系xoy中，已知点A(0,1)和点B(–3,4)，若点C在∠AOB的平分线上，且，则

2、=_________________.略解：点C在∠AOB的平线上，则存在使==,而，可得，∴.题2：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,.则P点的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解：由已知得，设BC的中点为D，则根据平行四边形法则知点P在BC的中线AD所在的射线上，故P的轨迹过△ABC的重心，选C.题3：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,,则动点P的轨迹一定通过△ABC的()A.重心B.垂心C.外心D.内心解：由已知得，q

3、q:514957971www.mzedu.com谢胜青由正弦定理知，∴，设BC的中点为D，则由平行四边形法则可知点P在BC的中线AD所在的射线上，所以动点P的轨迹一定通过△ABC的重心，故选A.题4：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,,则动点P的轨迹一定通过△ABC的()A.重心B.垂心C.外心D.内心解：由已知得，∴===0，∴，即AP⊥BC，所以动点P的轨迹通过△ABC的垂心，选B.题5：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,,则动点P的轨迹一定

4、通过△ABC的()A.重心B.垂心C.外心D.内心解：设BC的中点为D，则，则由已知得，∴===0.∴DP⊥BC，P点在BC的垂直平分线上，故动点P的轨迹通过△ABC的外心.选C.qq:514957971www.mzedu.com谢胜青题6：三个不共线的向量满足=+)==0，则O点是△ABC的()A.垂心B.重心C.内心D.外心解：表示与△ABC中∠A的外角平分线共线的向量，由=0知OA垂直∠A的外角平分线，因而OA是∠A的平分线，同理，OB和OC分别是∠B和∠C的平分线，故选C.题7：已知A、B、C是平面上不共线的

5、三点，O为△ABC的外心，动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的()A.内心B.垂心C.重心D.AB边的中点解：===,由平行四边形法则知必过AB边的中点，注意到，所以P的轨迹在AB边的中线上，但不与重心重合，故选D.题8：已知O是△ABC所在平面上的一点，若=0,则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解：若=0,则，以、为邻边作平行四边形OAC1B，设OC1与AB交于点D，则D为AB的中点，有，得，即C、O、D、C1四点共线，同理AE、BF亦为△ABC的中线，所以O是△ABC的重心.选C.qq:5

6、14957971www.mzedu.com谢胜青题9：已知O是△ABC所在平面上的一点，若(其中P为平面上任意一点),则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解：由已知得，∴，即=0，由上题的结论知O点是△ABC的重心.故选C.题10：已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解：由，则，即，得，所以.同理可证，.∴O是△ABC的垂心.选D.题11：已知O为△ABC所在平面内一点，满足=，则O点是△ABC的()A.垂心B.重心C.内心D.外心解：由已知得

7、===0=0，∴⊥.同理，.故选A.题12：已知O是△ABC所在平面上的一点，若===0，则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解：由已知得：===0==0qq:514957971www.mzedu.com谢胜青.所以O点是△ABC的外心.选A.题13：已知O是△ABC所在平面上的一点，若=0，则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解：∵，，则=0，得.因为与分别为和方向上的单位向量，设，则平分∠BAC.又、共线，知AO平分∠BAC.同理可证BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，所以O点

8、是△ABC的内心.题14：已知O是△ABC所在平面上的一点，若(其中P是△ABC所在平面内任意一点)，则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解：由已知得=，∴==，由上题结论知O点是△ABC的内心.故选B.题15：设O为△ABC的外心，G为△ABC的重心，求证：.证明：根据题9中P点的任意性即可证得.证明略.ABCOHD题16：