[理学]数学分析简明教程22 各种积分间的联系与场论初步

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1、第二十二章各种积分间的联系与场论初步§1各种积分间的联系1．应用格林公式计算下列积分：（1），其中L为椭圆+=1取正向；（2）L同（1）；（3），是顶点为的三角形的边界，取正向；（4）取正向；（5）为矩形的边界，取正向；（6）其中是任意逐段光滑闭曲线．解（1）原式==（广义极坐标变换）=．（2）=．（3）原式．（4）原式．（5）原式．（6），，，，，所以，原式其中为包围的平面区域．2．利用格林公式计算下列曲线所围成的面积：（1）双纽线；（2）笛卡尔叶形线；（3），，．解（1），其中由，所围成．（2）作代换则得曲线的参数方程为，．所以，，，从而，，于是，面积为===．（3）====3．利

2、用高斯公式求下列积分：（1）.其中（a）为立方体的边界曲面外侧；（b）为锥面,下侧.解：（a）=2=2=(b)补充平面:的上侧后，成为闭曲面的外侧,而===所以:+==2=2====所以==（2）,其中是单位球面的外侧；解：=3=3=（3）设是上半球面的上侧，求（a）(b)解：补充平面：，下侧后，成为闭曲面的外侧，而（a）所以3==2(b)==2d=0所以===dsind=（4）,是的外侧.解：,=3===44．用斯托克斯公式计算下列积分：（1）,其中（a）为圆周，方向是逆时针；（b）为所交的椭圆，沿轴正向看去，按逆时针方向；解：（a）取平面上由交线围成的平面块为S，上侧，由Stoke

3、s公式=====（b）取平面上由交线围成的平面块为S，上侧，由由Stokes公式====（2），是从经至回到的三角形；解：三角形所在的平面为，取平面上由以上三角形围成的平面块为S，取上侧，由stokes公式===（++）=（++）=（3），其中（a）为与三坐标轴的交线，其方向与所围平面区域上侧构成右手法则；（b）是曲线,()，它的方向与所围曲面的上侧构成右手法则；解：（a）中取平面上与三坐标面交线所围平面块为S，上侧；（b）中取曲面上由所围曲面块为S，上侧，则由stokes公式，得==2则（a）==0（因为cos=cos=cos=）（b）注意到球面的法线的方向余弦为：,，，所以=2=2

4、由于曲面S关于平面对称，故又于是=（4），是，，从轴正向看去圆周是逆时针方向．　解：平面的法线的方向余弦为cos，于是，　　　　　　　===5.　设L为平面上封闭曲线,为平面的任意方向，证明：，其中是的外法线方向。证明：不妨规定L的方向为逆时针的，以表示，由于夹角故得=+但且，因此，有：再利用Green公式，并注意到和均为常数，即得６．设Ｓ是封闭曲线，为任意固定方向，证明：.证明：因为其中为的方向余弦，故有而为固定方向，从而均为常数，于是由Ｇauss公式，得7．求I=,为包围有界区域D的光滑闭曲线，为的外发向。解：设曲线的逆时针切线方向，则，即：而所以，=于是=8.证明Gauss积分，

5、其中是平面一单连通区域的边界，而是上一点到外某一定点的距离，是的外法线方向.又若r表示上一点到内某一定点的距离，则这个积分之值等于2.证明：设与轴夹角为，与轴的夹角为，则于是,并设曲线上的点为,曲线外一点为，则所以=令，则有，因而,的偏导数除去点外，在全平面上是连续的，且于是，利用Green公式，当点在外一点时，有当在内时，则在内以为圆心，以为半径作一小圆，即得即=即=9．计算Gauss积分，其中为简单封闭光滑曲面，为曲面上在点（）处的外法向，.试对下列两种情形进行讨论：（1）曲面包围的区域不含点；（2）曲面包围的区域含点.解：设的方向余旋为cos,cos,cos，则而：，，，所以，由

6、于，，这些偏导数除去即点外。在全空间是连续的，且++=0于是（1）当曲面所包围的区域不含点时，由Gauss公式有（2）当则曲面所包围的区域含点时，在内以为球心，以为半径作小球面，由Gauss公式=10．求证,其中是包围的分片光滑封闭曲面，为的外法线方向，,.分下两种情形进行讨论：（１）中不含原点（２）中含原点时,令，其中是以原点为心，以为半径的球.证明：（1）其中为的方向余旋，因此,利用Gauss公式,得==所以:（2）对封闭区域应用Gauss公式,可得，但在上，，于是，令取极限，即得：=11.利用Gauss公式变换下列积分:（1）（2）,其中是曲面的外法线方向余弦.解:（1）==0（

7、2）==12．设，是具有二阶连续偏导数的函数，并设证明：（1）；（2）；（3）.其中为闭曲线所围的平面区域,为沿外法线的方向导数.证明:(1)（2）令，则，所以：由Green公式有：所以：（3）由（2）已证知：后式减去前式得：=-（该公式称为Green第二公式）13．设++，是的边界曲面，证明：（1）（2）式中在及其边界曲面上有连续的二阶偏导数，为沿曲面的外法线的方向导数.证明：（1）=（2）14、计算下列曲线积分：(1),其中是下侧；解：补充