数学分析课件22.1各种积分间的联系334.00KB.ppt

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1、§1.各种积分间的联系【数学分析课件】一、格林公式首先，引进一个重要概念,即单连通区域的概念.一个平面区域,如果全落在此区域内的任何一条封闭曲线都可以不经过以外的点而连续地收缩为一点,则称此区域为单连通的,否则称为复连通的.可见,单连通区域也就是不含有”洞”甚至不含有”点洞”的区域.单连通区域上的二重积分和沿其边界的曲线积分之间有如下的关系:定理(格林公式)设是以光滑曲线为边界的平面单连通区域,函数和在及上连续并具有对和的连续偏导数,则有【数学分析课件】这里右端为沿有向闭路的积分,积分路径的方向

2、是和区域正向联系的,即当一个人沿着曲线行走时区域恒在他的左边(亦即服从右手法则的联系).这个公式称为格林公式.我们再讨论复连通区域的格林公式.若是复连通区域,它的边界由两条曲线和组成,用一条曲线把区域的边界曲线和联结起来,那么以曲线及为边界的区域就成了一个单连通区域,应用格林公式【数学分析课件】这里及的方向取法是和区域正向联系的.可知,格林公式对于复连通的情形亦成立.特别,在格林公式中令,则得到一个计算平面面积的公式例1计算积分,此外是以为顶的三角形.例2计算,其中为由直线及所围成的区域的边界.

3、二、高斯公式【数学分析课件】首先要对空间区域作一些说明.如果在一个空间区域中的任何两点都可用全属于此区域的曲线联结起来,则称此区域为连通的.又如果对于这个区域内的任何闭曲面都可不经过区域外的点而连续收缩为一点,则称此空间区域为二维单连通的.如果对于这个区域呢的任何闭曲线都可不巾帼区域外的点而连续收缩为一点,则称此空间区域为一维单连通的.二维单连通区域上的三重积分与沿边界曲面的积分间的关系如下:定理(高斯公式)设空间二维单连通区域的边界曲面是光滑的,函数在及上具有关于的连续偏导数,则有【数学分析课

4、件】这里为曲面的外法线方向.最后一个积分是沿曲面的外侧.当区域不是二维单连通是,则高斯公式仍旧成立.此时边界曲面的法方向仍取法线方向.例3计算为球面的外侧.【数学分析课件】三、斯托克斯公式我们要把格林公式由平面推广到曲面，使在具有光滑边界曲面的光滑曲面上的积分和其边界上的积分联系起来，得到下面的关系：定理（斯托克斯公式）若光滑曲面的边界为光滑曲线，函数在曲面及曲线上具有对的连续偏导数，则成立以下的公式【数学分析课件】曲线积分的方向和曲面的侧按右手法则联系.这个公式称为斯托克斯公式.为了便于记忆,

5、公式又可以写为【数学分析课件】例4计算,为柱面和平面的交线,即是一椭圆边界,从轴的正向看去,椭圆按逆时针方向.【数学分析课件】