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《数学分析 第二十二章 课件 各种积分间的关系与场论的初步》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二十二章 各种积分间的联系与场论初步§1各种积分间的联系1、格林公式区域D分类单连通区域(无“洞”区域)复连通区域(有“洞”区域)区域D边界L的正向:域的内部靠左定理22.1（格林公式）设区域D是由逐段光滑闭曲线L围成的平面单连通闭区域，函数则有(格林公式)在D上具有连续一阶偏导数,或证明：见380页说明1)对复连通区域，公式也成立。强调：(i)所有边界.(ii)每段的方向2)记忆：其中:为切向量（与同向）;为外法线2、高斯公式定理22.2.设空间闭区域V由分片光滑的双侧闭曲函数P,Q,R在V及S上具有连续的一阶面S所围成,偏导数数，则有(Gauss公式)证明
2、：P377仿照格林公式的证明，先对简单的区域证明高斯公式。其中V如图22-9，它的边界由下，上，中三部分S1，S2，S3构成。上部为S2，由方程下部为S1，由方程给出，给出，中间由母线平行于Z轴的柱面S3构成。S1与S2在Oxy平面上由公式投影D.V可表为考虑V的边界曲面S的外侧可表为下侧，上侧，以D的边界为准线夹在S1与S2之间的柱面外侧由三重积分的积算方法及第二型曲面积分的积算方法得：上面第四个等式成立是因为S3在Oxy面上得投影面积为零，所以同理可证3、stokes公式光滑曲面的边界为光滑曲线L，函数在及上具有连续的一阶偏导数，则其中的侧与的方向按右手法则
3、确定证明：先证设曲面S的方程为它在Oxy面上得投影为与过的点且平行于z轴的直线只交于以点。L是S的边界，它它在Oxy面上的投影为l.取S的上侧为正侧，则单位法向量为因此因为L在曲面上，所以由格林公式，有同理可证把三个公式加起来，便得斯托克斯公式。证毕！说明：记忆：公式的推广格林公式的推广，即格林公式为其特例斯托克斯公式建立了函数在空间曲面S上的第二型曲面积分与其“原函数”在S的边界曲线L上的第二型曲线积分之间的联系，因此也是牛顿－莱布尼茨公式的一种高维的推广。利用两种曲面积分之间的关系，常把它写成如下便于记忆的形式：背景：在力学里，质点在保守力场中移动时，场力场
4、所做的功和所走的路径无关，而只与质点运动的起点和终点有关，而此时功可用第二型曲线积分表示。因此，要讨论问题：在什么条件下，第二型曲线积分与积分路径无关（只依赖曲线的端点）第二节曲线积分与路径无关定理22.4设D是平面单连通区域,在D上有连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个断言等价:在D内是某一函数的全微分,即平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理22.4的证明1－4：设D是平面单连通区域,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有
5、(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为证明(1)(2)设为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1))证明(2)(3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),与路径无关,有函数证明(3)(4)设存在函数u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有证明(4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得所围区域为证毕在区域上考察积分（1）其中为
6、从到沿上半圆周（2）从到沿下半圆周解：（1）（2）在区域上考察上述积分：这时是单连通的，为什么仍有实际上：不满足定理中关于及其偏导数的连续性条件。我们注意：若有破坏连续性条件的“奇点”，我们将这些点从区域中除去，于是区域就变为含有点“洞”的区域,而在上具有了连续性。从而可化为上面的情形圆的方程：例.意义对内任一条不包含奇点的闭曲线，由格林公式，有环绕奇点的任意两条简单闭曲线和的正向的积分相等，即环绕某一奇点n圈的光滑闭曲线L，其中n1圈是正向，n2圈是负向则积分等于该点循环常数的倍。(iii)(iv)若不自相交光滑闭曲线L包围了k个奇点，则沿L正向的积分等于这k
7、个奇点的循环常数之和。第三节、场论初步1.梯度场梯度:称为函数的梯度，它定义了一个向量场，称为梯度场，又称为梯度场的势函数，则记函数沿的方向导数，利用梯度得：其中为与梯度之间的夹角。2.散度场散度:设是空间区域上的向量场，在上每一点，定义向量场的散度为，记为散度构成了的一个数量场。利用算子有公式可写成物理意义：就是流体在点的单位体积的流量，即流量密度。向量场定义公式可写成：3.旋度场小结格林公式单连通区域积分与路径无关习题1、设L是一条分段光滑的闭曲线,证明证:令则利用格林公式,得2、计算其中D是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域.解:
8、令,则利用格林公式,有3
