费尔马光行最速原理 解决周长最短的内接三角形

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1、费尔马光行最速原理解决周长最短的内接三角形费尔马不仅是位数学家，他在物理学中也有所建树，“光行最速原理”就是由他发现的。由此我们可以解下列问题：由光源A射出的光线，经平面镜MN反射后照到点B，求光走过的路线。　　解：作A关于MN的对称点A′，连A′B交MN于点P，则光线将由A射到P，经反射后到B，这条路线是“最短路线”。实际上，对MN上任一非P的点P，都有AP′+P′B=AP′+P′B＞A′B=AP+PB。即这条路线最短。　　　　　　由此可得到物理学中的反射定律：光经平面镜反射时，入射角等于反射角，在图1中，取P点处法线PQ，则有∠1=∠2。　

2、　在△ABC中，AD、BE、CF分别为三边上的高，△DEF称为△ABC的垂足三角形，可以证明△ABC的重心H是△DEF的内心（图2）。　　实际上，由∠BEA=∠BDA=90°，知B、D、E、A共圆，于是∠CDE=∠BAC。同样，由A、F、D、C共圆，可知∠BDF=∠BAC，于是∠CDE=∠BDF。从而可知DA平分∠EDF。　　同理FC平分∠DFE，EB平分∠DEF。故H是△DEF的内心。　　　　　　如作D关于AB的对称点D1，可知∠DFB=∠D1FB＝∠AFE，于是，D1、F、E在一直线上。同样可知，D关于AC的对称点D2也在直线EF上，即D1

3、、F、E、D2四点在一条直线上。　　现在，我们来看由法格拉洛提出的一个问题：在△ABC的每条边上各取一点D、E、F，△DEF称为△ABC的内接三角形。试在锐角三角形ABC的所有内接三角形中，求周长最短的三角形。　　费尔马提出了一种解法，这个解法分成三步来解：　　　　　　（1）设D是BC上固定点，求此时的周长最短的内接三角形。　　作D关于AB、AC的对称点D1、D2，连D1D2交AB、AC于E、F，则△DEF为所求。实际上，对于△ABC的任一内接△DE′F′，有　　DE′+E′F′+F′D=D1E′+E′F′+F′D2　　≥D1D2=D1E+EF

4、+FD2　　=DE＋EF＋FD。　　就是△DEF的周长≤△DEF的周长。　　因此，我们只要对于每一个BC上的点D，都找出相应于该点的周长最短的内接三角形DEF，在这些三角形中找出周长最短的一个就行。 　　（2）由于 AD1=AD，AD2=AD，故△AD1D2是等腰三角形。又由于∠1=∠2，∠3=∠4，故△AD1D2的顶角∠D1AD2=2∠BAC为定值，因此，只有当其腰AD1最短时，D1D2最短。此时必有AD最短。从而当 AD为△ABC的高时，内接三角形DEF的周长最短。　　（3）当AD为△ABC的高时，由前面三角形垂足三角形性质，可证△ABC的

5、内接三角形中，以其垂足三角形DEF的周长最短。　　在平面几何中，还有一个以费尔马为名的“费尔马点”。即：在△ABC所在平面上找一点，它到三个顶点的距离之和相等。　　只考虑△ABC的三个内角都小于120°的情况。　　以 AB、BC、CA为边向形外作正三角形BCD、ACE、ABK，作此三个三角形的外接圆。设⊙ABK、⊙ACE除A外的交点为F，由 A、K、B、F四点共圆知∠AFB＝120°。同理∠AFC＝120°于是∠BFC=120°。故⊙BCD边过点F，即⊙ABK，⊙BCD，⊙CAE共点F。　　由∠AFB=120°，∠BFD=60°，知 A、F、D

6、在一条直线上。　　在FD上取点G，使FG=FB，则△FBG为正三角形。由BG＝ BF， BD＝BC，∠DBG＝∠CBF＝60°-∠GBC，故△DBG≌△CBF。于是GD＝FC，即AD=FA+FB+FC。　　　　　对于平面上任一点P，以BP为一边作等边△PBH（如图4），连HD，同样可证△BHD≌△BPC。于是AP+PH+HD=PA+PB+PC。但PA+PH+HD≥AD=FA+ FB+FC。这就是说，点F为所求点。这点称为△ABC的费尔马点。　　如果△ABC有某一内角≥120°，例如∠A≥120°，则点A即为所求点。图1图2