最短路线与最速降线

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1、WORD文档可编辑最短路线和最速降线技术资料专业分享WORD文档可编辑一、最短路线1．问题设一辆汽车停止于处并垂直于方向，此汽车可转弯的最小圆半径为,求不倒车时由移到的最短路线。（1）讨论的情形。（2）简单讨论的情形。2．假设将汽车视为一个点，汽车行走的路线视为一条曲线。3．建模（1）讨论的情形。以为轴正向，作一半径为的圆与轴切于点，问题就是要找一条最短曲线连结，在点切于轴正向，且任一点的曲率半径不小于。直观上不难猜测出最短路径。从点向圆做切线，那么由点沿圆弧移到点，再沿直线移到点，这就是最短路径（如

2、图1所示）。为了证明这一事实，作一条直线通过圆的中心和点。假设汽车沿某一条曲线由点移到点，因、分别在直线两侧，与必有一交点被分成弧和弧两段。因与垂直，弧的长度必不小于线段的长度（当且仅当弧与线段重合时才可能相等）。设弧的参数方程为图1其中为弧长。在点处，曲线的切线与轴的夹角记为，依条件有当时，故从而。研究曲线上的点与直线的距离（在的右边为正）因为技术资料专业分享WORD文档可编辑故因此当时，有当时,。故故当时，这就是说，当汽车移动距离不超过（就是弧的长度）时，它不可能越过直线。因此弧的长度至少为,并且

3、只有当弧与完全重合时，它的长度才能等于。总结上述讨论，知曲线的长度必不小于并且只有当与重合时才可能相等。因此是唯一的最短路径。（2）若点在圆内，即则应过点作一半径的圆，其圆心在延长线上，再过点作一圆，半径为，且与前圆切于点，则最短路径是弧和弧所组成的曲线（如图2所示）。图2技术资料专业分享WORD文档可编辑二、最速降线1．问题意大利科学家伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题──“铅直平面内给定不在一条垂直线上的两个点A,B,如图3,求连接它们的光滑曲线，使质点在重力作用下沿该曲线以最短时间从A点

4、滑到B点（摩擦力不计）”。他说这曲线是圆，可是这是一个错误的答案。瑞士数学家约翰·伯努利在1696年再提出这个最速降线的图3问题（problemofbrachistochrone），征求解答。次年已有多位数学家得到正确答案，其中包括牛顿、莱布尼兹、洛必达和伯努利兄弟。牛顿用非凡的微积分技巧解出了最速降线方程，约翰·伯努利用光学的办法巧妙的也解出最速降线方程，雅各布·伯努利用比较麻烦的办法解决了这个问题。这问题的正确答案是连接两个点上凹的唯一一段旋轮线或圆滚线。旋轮线与1673年荷兰科学家惠更斯讨论的摆

5、线相同。因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等，所以摆线（旋轮线）又称等时曲线。数学家十分关注最速降线问题，大数学家欧拉也在1726年开始发表有关的论著，在雅各布·伯努利方法的基础上，1744年最先给了这类问题的普遍解法，并产生了变分法这一新数学分支。现在来看，雅各布的方法是最有意义和价值的。2．假设质点在滑动过程中不考虑空气阻力。3．模型尽管A，B两点间的最短距离是连接它们的直线，但是沿直线运动时速度增长较慢，如果沿一条陡峭的曲线下滑，虽然路径加长，但运动速度增长很快。为了求这条运动时间最短的曲线

6、，在图3中将A点取为坐标原点（0,0），B点坐标为（x1,y1），连接A，B的曲线记为y(x)，于是曲线上的弧长为技术资料专业分享WORD文档可编辑.根据能量守恒定律，质点在曲线y(x)上任一点的速度满足,其中m是质点的质量，g是重力加速度。将上面ds的关系代入，得到,于是质点沿曲线y(x)从A点滑到B点的时间可表示为(1)y(x)在A，B两个端点应有y(0)=0,y(x1)=y1(2)最速降线问题归结为求y(x)，在满足（2）的条件下，使（1）的J(y(x))达到最小。4．求解约翰·伯努利设想质点也

7、像光线那样按从A到B耗时最少的路径滑行，根据光学原理（史奈尔折射定律）得（3）由能量守恒定律得（4）由几何关系得（5）由（3）、（4）、（5）得（6）技术资料专业分享WORD文档可编辑上述解法让我们见识了数学建模中的类比想象能力是何等的宝贵。现实世界各种现象之间的模拟是一种重要的科研方法。约翰·伯努利解决最速降线的方法非常奇妙，表现出惊人的想象力，可以说是一项水平极高的艺术工作。5．应用滑梯是儿童乐园中常见的玩具。有的滑梯的滑板是平直，还有一种滑梯是弯曲的，它的滑面是旋轮线。旋轮线滑面上的小朋友可以最

8、短时间到达地面。技术资料专业分享WORD文档可编辑最速降线在建筑中也有着美妙的应用。我国古建筑中的“大屋顶”，从侧面看上去，“等腰三角形”的两腰不是线段，而是两段最速降线。按照这样的原理设计，在夏日暴雨时，可以使落在屋顶上的雨水，以最快的速度流走，从而对房屋起到保护的作用。谢谢！技术资料专业分享