最短路线和最速降线

最短路线和最速降线

ID:20822964

大小:431.50 KB

页数:7页

时间:2018-10-16

最短路线和最速降线_第1页
最短路线和最速降线_第2页
最短路线和最速降线_第3页
最短路线和最速降线_第4页
最短路线和最速降线_第5页
资源描述:

《最短路线和最速降线》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库

1、最短路线和最速降线一、最短路线1.问题设一辆汽车停止于处并垂直于方向,此汽车可转弯的最小圆半径为,求不倒车时由移到的最短路线。(1)讨论的情形。(2)简单讨论的情形。2.假设将汽车视为一个点,汽车行走的路线视为一条曲线。3.建模(1)讨论的情形。以为轴正向,作一半径为的圆与轴切于点,问题就是要找一条最短曲线连结,在点切于轴正向,且任一点的曲率半径不小于。直观上不难猜测出最短路径。从点向圆做切线,那么由点沿圆弧移到点,再沿直线移到点,这就是最短路径(如图1所示)。为了证明这一事实,作一条直线通过圆的中心和点。假设汽车沿

2、某一条曲线由点移到点,因、分别在直线两侧,与必有一交点被分成弧和弧两段。因与垂直,弧的长度必不小于线段的长度(当且仅当弧与线段重合时才可能相等)。设弧的参数方程为图1其中为弧长。在点处,曲线的切线与轴的夹角记为,依条件有当时,故从而。研究曲线上的点与直线的距离(在的右边为正)因为故因此当时,有当时,。故故当时,这就是说,当汽车移动距离不超过(就是弧的长度)时,它不可能越过直线。因此弧的长度至少为,并且只有当弧与完全重合时,它的长度才能等于。总结上述讨论,知曲线的长度必不小于并且只有当与重合时才可能相等。因此是唯一的最

3、短路径。(2)若点在圆内,即则应过点作一半径的圆,其圆心在延长线上,再过点作一圆,半径为,且与前圆切于点,则最短路径是弧和弧所组成的曲线(如图2所示)。图2二、最速降线1.问题意大利科学家伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题──“铅直平面内给定不在一条垂直线上的两个点A,B,如图3,求连接它们的光滑曲线,使质点在重力作用下沿该曲线以最短时间从A点滑到B点(摩擦力不计)”。他说这曲线是圆,可是这是一个错误的答案。瑞士数学家约翰·伯努利在1696年再提出这个最速降线的图3问题(problemofbrachistoc

4、hrone),征求解答。次年已有多位数学家得到正确答案,其中包括牛顿、莱布尼兹、洛必达和伯努利兄弟。牛顿用非凡的微积分技巧解出了最速降线方程,约翰·伯努利用光学的办法巧妙的也解出最速降线方程,雅各布·伯努利用比较麻烦的办法解决了这个问题。这问题的正确答案是连接两个点上凹的唯一一段旋轮线或圆滚线。旋轮线与1673年荷兰科学家惠更斯讨论的摆线相同。因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等,所以摆线(旋轮线)又称等时曲线。数学家十分关注最速降线问题,大数学家欧拉也在1726年开始发表有关的论著,在雅各布·伯努利方法的基础上

5、,1744年最先给了这类问题的普遍解法,并产生了变分法这一新数学分支。现在来看,雅各布的方法是最有意义和价值的。2.假设质点在滑动过程中不考虑空气阻力。3.模型尽管A,B两点间的最短距离是连接它们的直线,但是沿直线运动时速度增长较慢,如果沿一条陡峭的曲线下滑,虽然路径加长,但运动速度增长很快。为了求这条运动时间最短的曲线,在图3中将A点取为坐标原点(0,0),B点坐标为(x1,y1),连接A,B的曲线记为y(x),于是曲线上的弧长为.根据能量守恒定律,质点在曲线y(x)上任一点的速度满足,其中m是质点的质量,g是重力

6、加速度。将上面ds的关系代入,得到,于是质点沿曲线y(x)从A点滑到B点的时间可表示为(1)y(x)在A,B两个端点应有y(0)=0,y(x1)=y1(2)最速降线问题归结为求y(x),在满足(2)的条件下,使(1)的J(y(x))达到最小。4.求解约翰·伯努利设想质点也像光线那样按从A到B耗时最少的路径滑行,根据光学原理(史奈尔折射定律)得(3)由能量守恒定律得(4)由几何关系得(5)由(3)、(4)、(5)得(6)上述解法让我们见识了数学建模中的类比想象能力是何等的宝贵。现实世界各种现象之间的模拟是一种重要的科研

7、方法。约翰·伯努利解决最速降线的方法非常奇妙,表现出惊人的想象力,可以说是一项水平极高的艺术工作。5.应用滑梯是儿童乐园中常见的玩具。有的滑梯的滑板是平直,还有一种滑梯是弯曲的,它的滑面是旋轮线。旋轮线滑面上的小朋友可以最短时间到达地面。最速降线在建筑中也有着美妙的应用。我国古建筑中的“大屋顶”,从侧面看上去,“等腰三角形”的两腰不是线段,而是两段最速降线。按照这样的原理设计,在夏日暴雨时,可以使落在屋顶上的雨水,以最快的速度流走,从而对房屋起到保护的作用。谢谢!

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文

此文档下载收益归作者所有

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天文库负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。