《概率论与数理统计》总复习

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1、《概率论与数理统计》复习大纲第一章随机事件与概率基本概念随机试验E----指试验可在相同条件下重复进行，试验的结果具有多种可能性（每次试验有且仅有一个结果出现，且事先知道试验可能出现的一切结果，但不能预知每次试验的确切结果。样本点w---随机试验E的每一个可能出现的结果样本空间W----随机试验E的样本点的全体随机事件-----由样本空间中的若干个样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的一个子集。必然事件---每次试验中必定发生的事件。不可能事件Æ--每次试验中一定不发生的事件。事件之间的关系包含AÌB相等A=B对立事件，也称

2、A的逆事件互斥事件AB=Æ也称不相容事件A，B相互独立P(AB)=P(A)P(B)例1事件A，B互为对立事件等价于（　D　）A、A，B互不相容B、A，B相互独立C、A∪B＝ΩD、A，B构成对样本空间的一个剖分例2设P(A)=0，B为任一事件，则（C）A、A=ÆB、AÌBC、A与B相互独立D、A与B互不相容事件之间的运算事件的交AB或A∩B例1设事件A、B满足A∩=Æ，由此推导不出(D)A、AÌBB、ÉC、A∪B=BD、A∩B=B例2若事件B与A满足B–A=B，则一定有(B)A、A=ÆB、AB=ÆC、A=ÆD、B=事件的并A∪B

3、事件的差A-B注意：A-B=A=A-AB=(A∪B)-BA1,A2,…,An构成W的一个完备事件组(或分斥)¾¾指A1,A2,…,An两两互不相容，且Ai=W运算法则交换律A∪B=B∪AA∩B=B∩A结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)分配律(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)对偶律=∩=∪文氏图事件与集合论的对应关系表记号概率论集合论W样本空间，必然事件全集Æ不可能事件空集w基本事件元素A事件全集中的一个子集A的对立事件A的补集F-35AÌB事件A发生导致事件

4、B发生A是B的子集A=B事件A与事件B相等A与B相等A∪B事件A与事件B至少有一个发生A与B的并集AB事件A与事件B同时发生A与B的交集A-B事件A发生但事件B不发生A与B的差集AB=Æ事件A与事件B互不相容（互斥）A与B没有相同的元素古典概型古典概型的前提是W={w1,w2,w3,…,wn,},n为有限正整数，且每个样本点wi出现的可能性相等。例1设3个球任意投到四个杯中去，问杯中球的个数最多为1个的事件A1，最多为2个的事件A2的概率。[解]：每个球有4种放入法，3个球共有43种放入法，所以

5、W

6、=43=64。(1)当杯中

7、球的个数最多为1个时，相当于四个杯中取3个杯子，每个杯子恰有一个球，所以

8、A1

9、=C3！=24；则P(A1)=24/64=3/8.(2)当杯中球的个数最多为2个时，相当于四个杯中有1个杯子恰有2个球(CC)，另有一个杯子恰有1个球(CC)，所以

10、A2

11、=CCCC=36；则P(A2)=36/64=9/16例2从1,2,…,9，这九个数中任取三个数，求：(1)三数之和为10的概率p1；(2)三数之积为21的倍数的概率p2。[解]：p1==,p2==P(A)==几何概型前提是如果在某一区域W任取一点，而所取的点落在W中任意两个度量相

12、等的子区域的可能性是一样的。若AÌW，则P(A)=例1把长度为a的棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率。[解]：设折得的三段长度分别为x,y和a-x-y，那么，样本空间，S={(x,y)

13、0£x£a,0£y£a,0£a-x-y£a}。而随机事件A：”三段构成三角形”相应的区域G应满足两边之和大于第三边的原则，得到联立方程组，解得0

14、0

15、，有P(A)³0;(2)规范性:P(W)=1或P(Æ)=0;(3)有限可加性：对两两互斥事件A1,A2,…,An有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)概率的公理化定义要求函数P(A)满足以下公理：(1)非负性，有P(A)³0;(2)规范性:P(W)=1;(3)可列可加性：对两两互斥事件A1,A2,…,An有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)F-35概率公式求逆公式P()=1-P(A)加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A∪B∪C)=P(A)+P(

16、B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)求差公式：P(A-B)=P(A)-P(AB);当AÉB时，有P(A-B)=P(A)-P(B)注意：A-B=A=A-AB=(A∪B)-B概率公式条件概率公式：P(A

17、B)=;(P(B)>0)P(A

18、B)表示事件B发