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1、概率论与数理统计第一章概率论的基本概念1.事件的关系及运算互不相容事件：即A,B不能同时发生。对立事件：且即差事件：即发生但不发生的事件切记：2.概率的性质单调性：若，则加法定理：例1设，求。解：（）故由此（）注：求事件的概率严禁画文氏图说明，一定要用概率的性质计算。1.条件概率与三个重要公式乘法公式全概率公式贝叶斯公式（求事后概率）例2、（10分）盒中有6个新乒乓球，每次比赛从其中任取两个球来用，赛后仍放回盒中，求第三次取得两个新球的概率。解：设Ai——第2次摸出i个新球(i=0,1,2),B——第3次摸出两个新球∵A0，A1，A
2、2构成Ω的一个划分∴由全概率公式其中故2.事件的独立性A与B独立→P(AB)=P(A)P(B)→P(B/A)=P(B)A与B互不相容→AB=φ→P(A∪B)=P(A)+P(B)注：n（>2）个事件两两独立与相互独立的区别！例3若A与B独立，且A与B互不相容，则P(A)P(B)=____第二、三章随机变量及其分布1.5中常见分布及其对应模型和相互关系；2.联合分布函数、边缘分布函数、联合分布律、边缘分布律、联合概率密度、边缘概率密度之间的关系；3.随机变量落在某区间（域）的概率1.随机变量函数的分布1）公式法1）分布函数法注意画图分段
3、讨论2.随机变量的独立性若r.vX、Y相互独立试考虑其它等价条件？注：若r.vX、Y相互独立反之不成立。见习题四21例4设X,Y联合概率密度如下，问它们是否相互独立？解：X,Y的边缘概率密度为同理显然故不相互独立例5设随机变量X与Y相互独立,其概率密度分别为求随机变量Z=X+Y的概率密度函数fZ(z).解其中D如图，则xzz=x+1Dz=x第四章随机变脸的数字特征1.期望与方差的意义期望：随机变量取值的集中点；方差：随机变量取值离集中点的偏离程度2.熟记5种常见分布的期望与方差3.随机变量的函数的期望（定理4.1.1，定理4.1.2
4、）4.利用期望与方差的性质求期望与方差（涉及随机变量的分解）例5民航机场的送客汽车载有20名乘客，从机场开出，乘客可以在10个车站下车，如果到达某一站时无顾客下车，则不停车，设随机变量X表示停车次数，假定每个乘客在各站下车都是等可能的，求平均停车次数。解：设为汽车在第站停车次数，则因每个乘客在每站下车等可能，故所以，而故5.协方差的计算与相关系数的实际意义1）随机变量相互独立则他们不相关2）对二维正态随机变量，不相关等价于相互独立例，随机变量X,Y均是正态随机变量，他们不相关，问他们时候独立。6．多维正态随机变量的性质(P118)例
5、，且相互独立.(1)写出随机变量(X+Y)与(X－Y)的概率密度(2)求随机变量(X+Y)与(X－Y)的相关系数ρ；(3)随机变量(X+Y)与(X－Y)是否相互独立？解令U=X+Y,V=X－Y(1)E(U)=E(X)+E(Y)=3μ；D(U)=D(X)+D(Y)=2σ2；E(V)=E(X)－E(Y)=μ；D(V)=D(X)+D(Y)=2σ2故（2）E[(X+Y)(X－Y)]=E(X2)－E(Y2)=D(X)+E(X)2－D(Y)－E(Y)2=3μ2因为Ｘ,Ｙ是相互独立的正态分布，所以(X,Y)是二维正态分布，从而(U,V)也是二维正
6、态分布.由二维正态分布的性质和(2)，可知X+Y与X-Y相互独立．例（习题四，21）设随机变量，设，试求（1)Z的数学期望与方差；（2)X与Z的相关系数；（3)问X与Z是否相互独立。解：（1）（2）而故（3）因（X,Y）是二维正态随机变量，X,Z均是X,Y的线性组合，故(X,Z)也是二维正态随机变量，而他们不相关故独立。第五章1.切比雪夫不等式：注：切比雪夫不等式只能粗略估计概率，一般除题目特殊说明不能使用。2.中心极限定理注意是极限运算，要注意打不等号例随机抽查验收产品,如果在一批产品中查出10个以上的次品,则拒绝接收.问至少检查
7、多少个产品,能保证次品率为10%的一批产品被拒收的概率不低于0.9解设检查的产品数为n,查出的次品数为X,则X~B(n,0.1),按题意,有P{10＜X≤n}≥0.9由棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理,有P{10＜X≤n}于是故即求解得n≥146.8或n≤－68.3，所以至少取n=147能够保证要求.
