概率论与数理统计总复习

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1、《概率论与数理统计》总复习----用4道题说《概率论与数理统计》安徽财经大学统计与应用数学学院吴礼斌1.一元离散型随机变量例1.设X的分布律为X-1012P(X=xk)0.20.10.3a(1)求常数a；（2）求P{

2、X

3、≤1}；（3）求条件概率P{X=2

4、X>0}；（4）求分布函数F(x)，并画出图形；（5）求E(X)，D(X)；（6）令Y=X2，求Y的分布律；（7）求COV（X，Y）；（8）令，求Z的分布律；（9）求的联合分布律；（10）求；（11）在总体Z中抽取容量为300的样本，求。解：（1）（这是要求同学掌握分布律的完备性）因为0.2+0.1+

5、0.3+a=1,所以a=0.4(2)（这是要求同学在已知分布律的情况下，掌握概率的求法!!,对离散型通常用列举法!）P{

6、X

7、≤1}=P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}=0.2+0.1+0.3=0.6（3）（这是要求同学在已知分布律的情况下，还要掌握条件概率公式，列举法!）条件概率（4）由分布函数的公式可得是右连续的，其图形呈阶梯状的形式，在处有跳跃，其跃跃高度为在处的概率。（5）（这是要求同学掌握期望与方差的计算！！）所以（6）（这是要求同学掌握已知X的分布律，求其函数的分布律！！列举法）当X取-1，0，1，2时，由于，所以的所有可能取值为0，

8、1，4，且；；,所以的分布律为0140.10.50.4（7）（这是要求同学们掌握协方差的定义与简化计算公式！！）因为，所以而所以协方差大于零，说明Y与X正相关！！（8）（这是要求同学们掌握概率计算的转化技巧，相同事件有相等的概率!!）因为，所以这说明Z服从p=0.7的0-1分布。（9）（这是要求同学们掌握联合分布律的求法，一般列表列举！！）Y的全部取值为0，1，4；Z的全部取值为0，1，列表如下YZ014P.j00.10.200.3100.30.40.7Pi.0.10.50.4因为（10）（这是要求同学们掌握相关系数的概念与公式！！，Y，Z及其联合分布律

9、已知，求相关系数！！）因为所以（11）（这是要求同学们掌握中心极限定理！！）因为Z是0-1分布，是样本，所以由二项分布的可加性，，所以，由隶美弗—拉普拉斯(DeMoivre-Laplace)定理第一题解完！！2.一元连续型随机变量例2设X的密度函数为，（1）求常数A，（2）当时，求；（3）当时，求常数c，使；（4）求分布函数；（5）求的密度函数；（6）设取自X的样本的观测值为0.30.20.40.60.5，求q的矩估计与最大似然估计。解：（1）由完备性，这里必须A>0，且，所以，，所以X的密度函数为（2）当时，。（3）当时，因为，所以，又，所以。（4）由

10、于概率密度函数是分段函数，所以分段求出分布函数的表示式，当时，；当时，；当时，，故X的分布函数为显然是连续函数。（5）（公式法求密度函数）因为的反函数是，所以的密度函数为（6）（先求矩估计量）由于总体一阶矩由矩法，令，即解q的一元方程得矩估计（量），。又样本的观测值为0.30.20.40.60.5，则，所以q的矩估计（值）为。（再求矩估计量）样本的似然函数为取对数求导得似然方程，所以，q的最大似然估计为当样本的观测值为0.30.20.40.60.5，q的最大似然估计第二题解完成。3.二元离散型随机变量例3．设(X,Y)的联合分布律如下表：XY123012

11、1/92/9A01/92/9001/95/93/91/91/93/95/91（1）求常数A；（2）求边缘分布律，计算D(X)，D(Y)，并指出X与Y是否独立；（3）求P{X>Y}；(4)Z=X+Y的分布律；（5）求D(Z)；（6）求。解：（1）由概率的完备性，1/9+2/9+A+0+1/9+2/9+1/9=1,所以A=2/9。（2）求边缘分布律见联合分布表,即X123Y012p1/93/95/9p5/93/91/9由于所以X与Y不独立。（3）（列举法！，按Y的取值列举!!）(4)由于X的取值为1，2，3；Y的取值为0，1，2；所以Z的取值为1，2，3，4

12、，5，且即Z12345p1/92/93/92/91/9（5）（虽然只求D(Z)，但要计算D(X),D(Y)以及COV（X，Y）!!）（方法一）用Z的分布律求D(Z)，（方法二）用公式D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2COV(X,Y)，因为所以（6）因为所以解毕。4.二元连续型随机变量例4.随机变量的密度函数为，（1）求；（2）求概率；（3）条件概率密度；（4）；（5）的分布密度；（6）已X为总体，写出取自该总体的样本联合分布函数。图1图2图3图4解：（1）密度函数的非零定义区域如图1所示，所以由边缘密度函数计算公式（2）如图2，概率如图3，概

13、率（3）当x>0时，当y>0时，（4）（5）如图4所示，分两种情况求Z的分布函数