第十八届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题解答-

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1、中国鞋码实际标注（同国际码）ｍｍ２２０　２２５　２３０　２３５　２４０　２４５　２５０　２５５　２６０　２６５中国鞋码习惯叫法（同欧码）３４　３５　３６　３７　３８　３９　４０　４１　４２　４３２０１５年　第５４卷　第４期　　 　　　　　　数学通报第十八届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题解答竞赛时间：２０１５年３月２９日８：３０～１１：００５１（）Ｐ（全部抢到“最差手气”）＝＝１０－１０．（ ） ＝ ０．６５．９（）  （）　　 一、春 节 期 间，朋 友 高 兴，在 微 信 群 里 玩 起 了抢红包的游戏．共 有 １０ 人，每 人 都 在 群 里 派 发 一次总金额一样的红包，

2、每派发一次红包，网络会随机地将派来的钱分成１０个钱数不等的红包，抢到手之前谁也不知道红包内钱数，然后大家都去抢．比如，在一次总金额为１０ 元 的 抢 红 包 中，１０ 人 抢到手的分别是：１．６８元，１．５６元，０．３元，１．２９元，０．４８元，０．５７元，１．８５ 元，１．０８ 元，０．５８ 元，０．６１元．如下图所示．我们称在一次派发中，金额最小的红包为“最差手气”，金额最 大 的 红 包 为 “最 佳 手 气”．一 个 人参与了这１０次抢红包，请对他计算．（１）全部抢到“最差手气”的概率；（２）至少一次抢到“最佳手气”的概率；（３）如果每 次 红 包 按 金 额 由 大 到

3、 小 排 的 次 序为第一名到第 十 名，那 么 抢 到 的 红 包 中 最 高 次 序为第五名的概率是多少？解　（１）全部抢到“最差手气”的概率为１ １０１０（２）至少一次抢到“最佳手气”的概率为　Ｐ（至少一次抢到“手气最佳”）＝Ｐ（抢到任意一种红包）－ Ｐ（抢不到“最佳手气”）１０＝ １－１０（３）抢 到 的 红 包 中 最 高 次 序 为 第 五 名 的 概率为　Ｐ（抢到的红包中最高次序为第五名）＝Ｐ（抢到的红包 中 不 出 现 前 四 名）－ Ｐ（抢到的红包中不出现前五名）６ １０ ５ １０＝ － ＝ ０．００５０６９．１０ １０二、网上购鞋常常看到下面这样一张表，第一行可

4、以理解为 脚 的 长 度，第 二 行 是 我 们 习 惯 称 呼的“鞋号”．ＳＩＺＥ 尺码对照表　　请你解决下面的问题：（１）找出满足上面条件的一个计算公式，通过实际脚长ｘ 计算出鞋号ｙ．（２）习惯 称 为 “３０ 号”的 童 鞋，对 应 的 脚 实 际尺寸有多长？（３）一个篮球 运 动 员 的 脚 长 为 ２８２ｍｍ，他 该穿多大号的鞋？解　（１）观察到，表中给出了两列数，ｎ　１　２　３　４　５　６　７　８　９　１０ａｎ　２２０　２２５　２３０　２３５　２４０　２４５　２５０　２５５　２６０　２６５ｂｎ　３４　３５　３６　３７　３８　３９　４０　４１　４２　４３５２数学通报　

5、　　　　　　 　２０１５年　第５４卷　第４期　　ａｎ＋１＝ａｎ＋５，ａ１＝２２０；ｂｎ＋１＝ｂｎ＋１，ｂ１＝３４．由 此 得 ａｎ ＝２１５＋５ｎ，ｂｎ ＝３３＋ｎ．于 是 有ｂｎ＝０．２ａｎ－１０．如 果 将 对 应 的 脚 长 （单 位：ｍｍ）和 鞋 号 记 作（ａ，ｂ），其关系为ｂ＝０．２ａ－１０．（２）令ｂ＝３０，由上述公式算出，ａ＝２００，即脚的长度为２００ｍｍ．（３）当ａ ＝２８２，利 用 公 式ｂ ＝ ０．２ａ －１０ 算出的结果 为ｂ ＝ ４６．４，而 鞋 号 都 是 整 数，按 照 穿鞋“不挤脚 ”的 原 则，这 个 篮 球 运 动 员 应 穿 ４７ 号的鞋．三、

6、过年了，佳 怡 去 探 望 奶 奶，到 商 店 买 了 一匣点心，售货员为她做了一个如图１的捆扎，并在角上配了一个花结，使得点心匣很漂亮，佳怡非常高兴．售货员说，这 种 捆 扎 方 式 不 仅 显 得 漂 亮，而且比一般的十字捆扎方式（如 图 ２）用 的 包 装 彩 绳短．你同意这种说 法 吗？ 请 给 出 你 的 理 由 （注：ｘ，ｙ，ｚ 是长方体形状匣子的 长，宽，高，ｚ＜ｘ，ｚ＜ｙ）．图１图２解：易知，在不考 虑 系 扣 的 前 提 下，图 ２ 用 彩绳的长度记作 Ｌ，在扎紧的情况下用绳最短，记作ｌ，此时每个面上的那一段绳都与相交的楞成垂直相交，即ｌ＝２ｘ＋２ｙ＋４ｚ．再看图

7、１的用绳情况．所用绳长记作 Ｍ，先将在每个面上的用绳情况展 在 平 面 上，如 图 ３．其 图形是一条由 Ａ 回到Ａ 的折线，在扎紧的情况下用绳最短，记作 ｍ，此时应当是条线段，易见，ｍ 是线段Ａ′Ａ″的长度，图３｜Ａ′Ａ″｜＝ 槡（２ｙ＋２ｚ）２ ＋ （２ｘ＋２ｚ）２＝２ 槡（ｙ＋ｚ）２ ＋ （ｘ＋ｚ）２ ，两个正数的大小关系与它们的平方的大小关系是一样的，于是计算ｌ２－ｍ２＝ （２ｘ＋２ｙ＋４ｚ）２－４［（ｙ＋ｚ）２＋ （ｘ＋ｚ）２］＝ ８（ｚ２＋ｘｙ＋ｘｚ＋ｙ