用整体补形法解几何题

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1、用整体补形法解几何题江苏省泰州市朱庄中学曹开清225300一、补形为直角三角形例1如图，四边形ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝2，CD＝11，求AC的长．解析：延长AB交DC的延长线于点E．在Rt△CBE中，∵∠E＝30°，BC＝2，∴CE＝4．在Rt△ADE中，∵∠E＝30°，DE＝11＋4＝15，∴AD＝5．在Rt△ADC中，根据勾股定理，得AC＝＝14．二、补形为等腰三角形例2如图，AD为△ABC的角平分线，且AD＝AB，过点C作直线AD的垂线，垂足为E，求证：AE＝(AB＋AC)．解析：延长CE交AB的延长线于F，取BF的中点，连接EM．∵AE

2、平分∠FAC，AE⊥FC∴AF＝AC，FE＝CE∴ME∥BC．∵AD＝AB，∴AE＝AM＝(AB＋AF)＝(AB＋AC)．三、补形为等边三角形例3如图，六边形ABCDEF的每个内角都是120°，且AB＝1，BC＝3，CD＝4，DE＝2，求六边形ABCDEF的周长．解析：双向延长AB、CD、EF两两相交于点P、Q、R．∵六边形ABCDEF的每个内角都是120°，∴△PAF、△QBC、△RED、△PQR均为等边三角形．设EF＝x，AF＝y，则y＋1＋3＝3＋4＋2＝2＋x＋y．解得x＝2，y＝5．∴六边形ABCDEF的周长为1＋3＋4＋2＋2＋5＝17．注：本题也可以补形为平行四边形．四

3、、补形为直角梯形例4如图，四边形ABCD中，AB＝2，BC＝，CD＝1，∠ABC＝120°，∠BCD＝90°，求四边形ABCD的面积．解析：过点A作直线CB的垂线，垂足为E，由已知条件，易得四边形AECD为直角梯形，∴∠BAE＝30°，BE＝＝1，AE＝．∴Ｓ四边形ABCD＝Ｓ梯形AECD―Ｓ△AEB＝＝3．五、补形为菱形例5如图，在五边形ABCDE中，∠A＝30°，∠B＝∠E＝150°，∠BCD＝90°，AB＝AE＝8，CD＝3，求五边形ABCDE的周长．解析：延长BC交于ED的延长于点F，由已知条件，易得四边形ABFE为菱形，∴∠F＝30°，EF＝BE＝8．在Rt△DCF中，DF

4、＝2CD＝6，CF＝CD＝3，∴ED＝2，BC＝8―3．∴五边形ABCDE的周长＝29―3．六、补形为矩形例6已知△ABC中，AB＝，BC＝，AC＝，求△ABC的面积．解析：直接用海伦——秦九韶公式求面积，由于有多重根式，计算相当繁复．考虑格点△ABC，根据勾股定理得AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝．∴Ｓ△ABC＝．七、补形为正方形例7如图，AD是△ABC的高，∠BAC＝45°，BD＝3，DC＝2，求△ABC的面积．解析：将△ABD翻折到△ABE的位置，将△ACD翻折到△ACF的位置，分别延长EB、FC，交点为G，由已知条件，易得四边形AEGF是正方形．设AD＝x，则正方形AEGF的边长

5、也等于x．在Rt△BGC中，BG＝EG―BE＝x―3，CG＝FG―CF＝x―2，BC＝3＋2＝5，根据勾股定理，得(x―3)2＋(x―2)2＝52，解得x＝6（x＝―1舍去），即AD＝6．∴Ｓ△ABC＝15．八、补形为整个圆例8如图，M、N是半圆O上的两个定点，P是半圆O直径AB上的一个动点．已知AB＝2，∠AOM＝125°，∠BON＝35°，求PM＋PN的最小值．解析：作点M关于AB的对称点M’，显然点M’在⊙O上，连接NM’，则M’N就是PM＋PN的最小值．连接OM’，由已知条件，易得∠M’ON＝90°，于是△OM’N是等腰直角三角形，可得M’N＝，即PM＋PN的最小值为．