专题二：基本函数、函数的图像及零点问题----2018.1.30

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1、专题二：基本函数、函数的图像及零点问题2018.1.30一、指数函数1．根式：(1)定义：若，则称为的次方根①当为奇数时，次方根记作__________；②当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作________(a>0).(2)性质：①；②当为奇数时，；③当为偶数时，_______＝2．指数：(1)规定：①a0＝(a≠0)；②a-p＝；③.(2)运算性质：①(a>0,r、Q)②(a>0,r、Q)③(a>0,r、Q)注：上述性质对r、R均适用.3．指数函数：①定义：函数称为指数函数，1)函数的定义域为；2)函数的值域为；3)

2、当________时函数为减函数，当_______时为增函数.②函数图像：1)过点，图象在；2)指数函数以为渐近线(当时，图象向无限接近轴，当时，图象向无限接近x轴)；3)函数的图象关于对称.③函数值的变化特征：①②③①②③例1.已知a=,b=9.求：（1）（2）.解：（1）原式=.÷［a·］==a.∵a=，∴原式=3.（2）方法一化去负指数后解.]∵a=∴a+b=方法二利用运算性质解.∵a=∴a+b=二、对数函数101．对数：(1)定义：如果，那么称为，记作，其中称为对数的底，N称为真数.①以10为底的对数称为常用对数，记作_______

3、____．②以无理数为底的对数称为自然对数，记作_________．(2)基本性质：①真数N为(负数和零无对数)；②；③；[m]④对数恒等式：．(3)运算性质：①loga(MN)＝_____________________；②loga＝_________________；③logaMn＝(n∈R).④换底公式：logaN＝(a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0)⑤.2．对数函数：①定义：函数称为对数函数，1)函数的定义域为(；2)函数的值域为；3)当______时，函数为减函数，当______时为增函数；4)函数与函数互为反函数.②1)图象经过点

4、()，图象在；2)对数函数以为渐近线(当时，图象向上无限接近y轴；当时，图象向下无限接近y轴)；4)函数y＝logax与的图象关于x轴对称．③函数值的变化特征：①②③①②③例1计算：（1）（2）2(lg)2+lg·lg5+;（3）lg-lg+lg.解：（1）方法一利用对数定义求值设=x,则(2+)x=2-==（2+）-1,∴x=-1.方法二利用对数的运算性质求解==(2+)-1=-1.（2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+

5、lg-1

6、=lg+(1-lg)=1.（3）原式=（lg32-lg49）-lg8+l

7、g245=(5lg2-2lg7)-×+(2lg7+lg5)=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5=lg(2×5)=lg10=.三、幂函数1．幂函数的概念：一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是基础过关10常数；注意：幂函数与指数函数的区别．2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点；（2）当时，幂函数在上；当时，幂函数在上；（3）当时，幂函数是；当时，幂函数是．3．幂函数的性质：（1）都过点；（2）任何幂函数都不过象限；（3）当时，幂函数的图象过．4．幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点平行于轴的

8、直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从到分布；（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限，关于对称．例1.写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）此函数的定义域为R，∴此函数为奇函数．（2）∴此函数的定义域为此函数的定义域不关于原点对称∴此函数为非奇非偶函数．（3）∴此函数的定义域为∴此函数为偶函数（4）∴此函数的定义域为∴此函数为偶函数10（5）∴此函数的定义域为此函数的定义域不关于原点

9、对称∴此函数为非奇非偶函数（6）∴此函数的定义域为∴此函数既是奇函数又是偶函数三、函数的图象一、基本函数图象特征（作出草图）1．一次函数为；2．二次函数为；3．反比例函数为；4．指数函数为，对数函数为.二、函数图象变换1．平移变换：①水平变换：y＝f(x)→y＝f(x－a)(a>0)y＝f(x)→y＝f(x＋a)(a>0)②竖直变换：y＝f(x)→y＝f(x)＋b(b>0)y＝f(x)→y＝f(x)－b(b>0)2．对称变换：①y＝f(－x)与y＝f(x)关于对称②y＝－f(x)与y＝f(x)关于对称③y＝－f(－x)与y＝f(x)关于对称④y＝f

10、-1(x)与y＝f(x)关于对称⑤y＝

11、f(x)

12、的图象是将y＝f(x)图象的⑥y＝f(

13、x

14、)的图象是将y＝f(x)图象