专题复习之随机变量及其分布

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1、专题复习之随机变量及其分布一、知识点解析（一）离散型随机变量的分布列1.随机变量及相关概念　　①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示.　　②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.　　③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.2.离散型随机变量的分布列　①离散型随机变量的分布列的概念和性质　　一般地，设离散型随机变量可能取的值为，，……，，……，　　取每一个值（1，2，……）的概率，则称下表.……PP1P2……　　为随机变量的概率分布，简称的

2、分布列.由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：　　（1），1，2，…;（2）.　　　②常见的离散型随机变量的分布列：　　（1）二点分布：　　若离散型随机变量服从参数为的二点分布，则　　期望　　方差　　证明：∵,,,　　　　　∴　　　　　10（2）二项分布　　次独立重复试验中，事件A发生的次数是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n，　　并且，其中，，随机变量的分布列如下：01……P…　称这样随机变量服从二项分布，记作，其中、为参数，并记：.期望　　方差　　☆期望公式证明：　　∵，　　∴，　　又∵，　　∴＋＋…＋＋…＋

3、　　　　　．　　（2）超几何分布　　在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数是一个取值为正整数的离散型随机变量，“”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.　　随机变量的概率分布为：123…k…Ppqp……3、离散型随机变量的期望与方差一般地，若离散型随机变量的概率分布为：10……P……<1>、期望：性质：　　①；　　②若(是常数)，是随机变量，则也是随机变量，；　　③若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，有；　　④；　　☆⑤设、相互独立，则。　　推论1：（均是常数）。　　　　　特别地：.　　☆推论2：若相互独立，则.　　性质③

4、的推导：　　的分布列为…………P……　　于是……　　　　　　＝……)……)　　　　　　＝　　∴10。　　<2>、方差：性质：　①；　②若(是常数)，是随机变量，则也是随机变量，；　③若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，；　　☆④若相互独立，则。　　<3>、标准差：.　　<4>、期望和方差的关系：2、求离散型随机变量的期望、方差、标准差的基本步骤：　　①理解的意义，写出可能取的全部值；　　②求取各个值的概率，写出分布列；　　③根据分布列，由期望、方差的定义求出、、.　　注意：常见分布列的期望和方差，不必写出分布列，直接用公式计算即可．（二）、

5、正态分布1．正态分布密度函数：，（σ＞0，-∞＜x＜∞）其中π是圆周率；e是自然对数的底；x是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为2．正态分布）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布3．正态曲线的性质：正态分布由参数μ、σ唯一确定，如果随机变量～N(μ，σ2)10，根据定义有：μ=E，σ=D。正态曲线具有以下性质：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交。（2）曲线关于直线x=μ对称。（3）曲线在x=μ时位于最高点，峰值为。（4）当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降。并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，

6、向它无限靠近。（5）当μ一定时，曲线的形状由σ确定。σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。注意：μ决定了图形的中心位置，σ决定了图形中峰的陡峭程度.4.标准正态分布（三）回归直线101、设所求的直线方程为，其中a、b是待定系数．，　,相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析2、相关系数：相关系数是因果统计学家皮尔逊提出的，对于变量y与x的一组观测值，把=叫做变量y与x之间的样本相关系数，简称相关系数，用它来衡量两个变量之间的线性相关程度.3、相关系数的性质：≤1，且越接近1，相关

7、程度越大；且越接近0，相关程度越小.一般的，当0.75时，就可以判断其具有很强的相关性，这时求线性回归方程才有意义。二、经典例题1、设的分布列为123P0.10.70.2　　　　　　求：；的数学期望.2、、两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，队队员是，队队员是，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员A队队员胜的概率B队队员胜的概率10A1对B1A2对B2A3对B3现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设队、队最后所得分分别为，.　　（1）求的概率分布；　　（2）求，。3、6件产品中有2件次品，从中任意抽取2件，含次品

8、的个数的数学期望与方差。4、有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出20件商品，