随机变量及其概率分布复习导航

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1、随机变量及其概率分布复习导航　　一、要点梳理　　1.离散型随机变量X的概率分布　　（1）如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.　　（2）设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，且P（X=xi）=pi，i=1，2，…，n，①，则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，也可以将①用下表形式来表示：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn上表称为随机变量X的概率分布表，它和①都叫做随机变量X的概率分布.显然，这里的pi（i=1，2，

2、…，n）具有性质：①pi≥0；②p1+p2+…+pn=1.　　离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率值的和.　　2.两点分布　　如果随机变量X的概率分布表为：X10Ppq其中0

3、，N∈N*），并将P（X=k）=CkMCn-kN-MCnN，记为H（k，n，M，N∈N*）.　　二、题型分析　　题型一、离散型随机变量概率分布的性质　　例1若离散型随机变量X的分布列为：X01P9c2-c3-8c试求出常数c.　　解：由离散型随机变量分布列的性质可知：　　9c2-c+3-8c=1，　　0≤9c2-c≤1，　　0≤3-8c≤1，解得c=13.　　即X的分布列为：X01P2313评注：离散型随机变量的两个性质主要解决以下两类问题：①通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进一步求得概率，得出分布列；②求对立事件的概率或判断某概率的成立

4、与否.　　例2设离散型随机变量X的概率分布表为：X01234P0.20.10.10.3m求：（1）2X+1的概率分布表；（2）

5、X-1

6、的概率分布表.　　分析：利用pi≥0，且所有概率之和为1，求m；求2X+1的值及其概率分布表；求

7、X-1

8、的值及其概率分布表.　　解：由概率分布的性质知：0.2+0.1+0.1+0.3+m=1，∴m=0.3.　　首先列表为：X012342X+113579

9、X-1

10、10123从而由上表得两个概率分布表为：　　（1）2X+1的概率分布表：2X+113579P0.20.10.10.30.3（2）

11、X-1

12、的概率分布表：

13、

14、X-1

15、0123P0.10.30.30.3评注：（1）利用概率分布中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.（2）若X是随机变量，则2X+1，

16、X-1

17、等仍然是随机变量，求它们的概率分布表可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出概率分布表.　　题型二、求离散型随机变量的概率分布　　例3甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.令ξ为本场比赛的局数.求ξ的概率分布列.　　解：ξ的所有取值为3，4，

18、5.　　当ξ=3时，表示甲连胜3局或乙连胜3局，则　　P（ξ=3）=C33×0.63×0.40+C03×0.60×0.43=0.28；　　当ξ=4时，表示前3局中甲胜2局，第四局甲胜或前3局中乙胜2局，第四局乙胜，则　　P（ξ=4）=C23×0.62×0.41×0.6+C13×0.61×0.42×0.4=0.3744；　　当ξ=5时，表示前4局中甲胜2局，第五局甲胜或前4局中乙胜2局，第五局乙胜，则　　P（ξ=5）=C24×0.62×0.42×0.6+C24×0.62×0.42×0.4=0.3456.　　∴ξ的分布列为：ξ345P0.280.37

19、440.3456评注：根据不同情形进行分类，要充分理解ξ取每一个值的具体含义.　　例4袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）随机变量X的概率分布表；（3）计分介于20分到40分之间的概率.　　分析：（1）是古典概型；（2）关键是确定X的所有可能取值；（3）计分介于20分到40分之间的概率等于X=3与X=4的概率之和.　　解：（1）方法一：“一次取出的3个小球上的数字互

20、不相同”的事件记为A，则P（A）=C35C12C12C12C310=23.　　方法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A