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1、张量分析1张量代数1.1坐标系在三维空间小，一个笛卡尔坐标系用图表示为三个相互垂直的轴，分别记为x轴、y轴、Z轴。为以后方便起见，坐标轴可更方便地表示成勺轴、衍轴、X3轴,而不是更熟悉的记法x轴、y轴、z轴。图1.1所示的坐标系假定采用右手记法,愁轴、勺轴位于图纸平面内,勺轴垂直指向读者。在这种记法中，坐标轴分别平行于(右手)指向观察者的中指、指向右边的大拇指和垂直向上的食指。坐标的正向为手指的指向，如Xs果我们想像一个右手方向旋传的螺杆，由X］轴向衍轴旋转会导致螺杆沿着衍轴的正向前进。同样可以轮流釆用标记1、2和
2、3来检验螺杆沿正方向前进的情况。正因为/X2如此，图所示的坐标系为右手坐标系。不是右手坐标/系的叫左手坐标系。如用左手，则图1.1中X3轴止向朝下。注意任何两个具有相同原点的右手坐标系，都可以将一个坐标系转到另一个坐标系上，使Z重合。这也适用于左手坐标系，图l.i右手螺旋定则但不适用一左一右的情况。矢量既有大小又有方向，这与标量不同，标量只有大小。例如，速度是矢量,温度是标量。在坐标系小矢量通常用箭头表示，箭头的方向为矢量的方向，箭头的长度与矢量的大小成比例。图1.2屮表示沿三个相互垂直轴方向的单位矢量5、e2和巧
3、o例如，单位矢量勺为单位长度(从原点量起)并沿X］轴，因而必须垂直另外两个坐标轴乜和也。对空间屮任意一点P,坐标是J、巾和巾，可以表示为矢量0P或V。这个矢量V可以想像为矢量V】、耳和Vs的组合，故有V二VJ+V2+V3(1.1)或根据单位矢量得V二V］ei+v2e2+V3e3-(1.2)其屮，V］、巾和巾为标量值。进一步简化，上式课简写为V=(vt,v2,v3)(1.3)显然这个形式屮3个标量的排序时至关重要的。可以看出矢量V的标记形式上采用了P点的笛卡尔坐标表示。iX,图1.2右于笛卡尔处标系中的位置与单位矢量
4、通常认为，V]、耳和勺作为V的分量，或反过来，将矢量V分解成分量。矢量作用的特定点常常可以从上下文中得知，不需要特别指明，图1.2中矢量V恰好作用在坐标原点。若两个矢量V和U的分量相等，则定义他们相等，相等的条件为V]二U],v2=u2,v3=u3(1.4)或紧凑地表示为Vi=ul,i二1,2,3(1.5)通常，跟简洁地将相等表示为Vi=ut(1.6)由于下标i没有特别指明，可以认为它代表了三种可能下标中任一个。如果矢量V乘以一个正的标量a,则结果aV定义为一个新的矢量，方向与V同向，大小为V的a倍。如果a为负值，
5、则负号表示相反的方向。由平行四边形法则得到两个矢量U与V之和的定义，如图1.3所示。显然，矢量的加减可以定义为其分量的加减。W二utv=(Uttvt)ex+(u2tv2)e2+(u3tv3)e3(1.7a)根据这些分量，有3],W2-,w3)=(uttvx,u2tv2,u3Zv3)(1.7b)或采用Wj=uttvt(1.8)U1.3字母指标记法与求和约定标量：只有大小，没有方向的量矢量：既有大小乂有方向的量张量：具有多重方向性，更为复杂的物理量字母指标记法：即将一物理量的所有分量用一个字母表示，并用指标区别不同的分
6、量。例如，一个矢量V可以表示如卜V=(vl,v2,v3)二Vi其中i二1,2,3Einsten求和约定：即一个指标在表达式某一项中重复出现两次，则该指标要取完指标域中所冇值，然后将各项加起來，该重复出现的指标称为哑标。只出现一次的指标称为自曲指标。例如：s=工d內==djXj(z,丿•=1…")?=1其中说明哑标不区分分量，只是求和，故可以更换符号。双重求和：33s=XXaijxixj=auxix.i1=]J=1三重求和：333S乍工除W內=aijkxixjxki=j=k=*注芦：指标在表达式某一项中出现三次
7、以上，则为违约，须保留求和符号工，如£＞出兀•屮的z须保留。*规走：出现双重指标但不求和吋，在指标下方陆横线或用文字进行说明(如:i不表示求和)。1.4Kronecher符号定义九为：，i=jo,wgj的矩阵形式为:「100_爲=010001可知，佔=6=5=35符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成5的另一个指标，而5符号消失。如：5ijsik=sikSijSjkSki=6的作用：1、更换指标；2、选择求和。1.5排列符号(1i，j，k为顺循环©ijk=I-1i，j，k为逆循环
8、toijk任两个相同。吐的值中,有3个为1,3个为-1,其余为0。由上定义可得在三维空间屮有：0即弓x勺"•旳axh=(d尼)x(hjCj)=aibjeixej=《巧做勺.eijk=~ejik故axb=-bxa混合积：[a,b,c]=a•(/?")=(ax/?)•
