高等代数(北大版第三版)习题答案II.doc

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1、高等代数（北大第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章—矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！12．设为一个级实对称矩阵，且，证明：必存在实维向量，使。证因为，于是，所以，且不是正定矩阵。故必存在非退化线性替换使，且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在中，令则可得一线性方程组，由于，故可得唯一组非零解使，即证存在，使。13．如果都是阶正定矩阵，证明：也是正定矩阵。证因为为正定矩阵，所以为正定二次型，且，，因此，于是必为正定二次型，从

2、而为正定矩阵。14．证明：二次型是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。证必要性。采用反证法。若正惯性指数秩，则。即，若令，，则可得非零解使。这与所给条件矛盾，故。充分性。由，知，故有，即证二次型半正定。15．证明：是半正定的。证（）。可见：1）当不全相等时。2）当时。故原二次型是半正定的。16．设是一实二次型，若有实维向量使，。证明：必存在实维向量使。设的秩为，作非退化线性替换将原二次型化为标准型，其中为1或-1。由已知，必存在两个向量使和，故标准型中的系数不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有个1，个-1，且，即，这时与存在三种可能：，，下面仅讨

3、论的情形，其他类似可证。令，，，则由可求得非零向量使，即证。17．是一个实矩阵，证明：。证由于的充分条件是与为同解方程组，故只要证明与同解即可。事实上，即证与同解，故。注该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第2题的证明，此处略。一、补充题参考解答1．用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果：1）；2）；3）；4），其中。解1）作非退化线性替换，即，则原二次型的标准形为，且替换矩阵，使，其中。2）若，，则，于是当为奇数时，作变换，则，且当时，得非退化替换矩阵为，当时，得非退化替换矩阵为，故当为奇数时，都有。当为偶数时，作非退化线性替换

4、，则，于是当时，得非退化替换矩阵为，于是当时，得非退化替换矩阵为，故当为偶数时，都有。1）由配方法可得，于是可令，则非退化的线性替换为，且原二次型的标准形为，相应的替换矩阵为，又因为，所以。1）令，则。由于，则原式，其中所作非退化的线性替换为，故非退化的替换矩阵为。又，所以。1．设实二次型，证明：的秩等于矩阵的秩。证设，因，下面只需证明即可。由于，故存在非退化矩阵使或，从而，令，则。由于是正定的，因此它的级顺序主子式，从而的秩为。即证。1．设。其中是的一次齐次式，证明：的正惯性指数，负惯性指数。证设，的正惯性指数为，秩为，则存在非退化线性替换，使得。下面证明。

5、采用反证法。设，考虑线性方程组，该方程组含个方程，小于未知量的个数，故它必有非零解，于是，上式要成立，必有，，这就是说，对于这组非零数，有，，这与线性替换的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以。同理可证负惯性指数，即证。1．设是一对称矩阵，且，证明：存在使，其中表示一个级数与相同的矩阵。证只要令，则，注意到，，则有。即证。1．设是反对称矩阵，证明：合同于矩阵。证采用归纳法。当时，合同于，结论成立。下面设为非零反对称矩阵。当时，故与合同，结论成立。假设时结论成立，今考察的情形。这时，如果最后一行（列）元素全为零，则由归纳假设，结论已证。若不然，经过行列的同时对换，不妨

6、设，并将最后一行和最后一列都乘以，则可化成，再将最后两行两列的其他非零元化成零，则有，由归纳假设知与合同，从而合同于矩阵，再对上面矩阵作行交换和列交换，便知结论对级矩阵也成立，即证。1．设是阶实对称矩阵，证明：存在一正实数，使对任一个实维向量都有。证因为，令，则。利用可得，其中，即证。7．主对角线上全是1的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵。1）设是一对称矩阵，为特殊上三角矩阵，而，证明：与的对应顺序主子式有相同的值；2）证明：如果对称矩阵的顺序主子式全不为零，那么一定有一特殊上三角矩阵使成对角形；3）利用以上结果证明：如果矩阵的顺序主子式全大于零，则是正定二次型。

7、证1）采用归纳法。当时，设，，则。考虑的两个顺序主子式：的一阶顺序主子式为，而二阶顺序主子式为，与的各阶顺序主子式相同，故此时结论成立。归纳假设结论对阶矩阵成立，今考察阶矩阵，将写成分块矩阵，，其中为特殊上三角矩阵。于是。由归纳假设，的一切阶的顺序主子式，即的顺序主子式与的顺序主子式有相同的值，而的阶顺序主子式就是，由，知的阶顺序主子式也与的阶顺序主子式相等，即证。2）设阶对称矩阵，因，同时对的第一行和第一列进行相同的第三种初等变换，可以化成对称矩阵，于是由1）知，从而，再对进行类似的初等变换，使矩阵的第二行和第二列中除外其余都化成零；如此继续下去，经过若干次

8、行列同时进行的第三种初等变换，便可以将