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1、.高等代数（北大第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章—矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第三部分，其他请搜索，谢谢！....第九章欧氏空间1.设是一个阶正定矩阵,而,,在中定义积,1)证明在这个定义之下,成一欧氏空间；2)求单位向量,,…,，的度量矩阵；3)具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。解1)易见是上的一个二元实函数，且(1)，(2)，(3)，(4)，由于是正定矩阵，因此是正定而次型，从而，且仅当时有。2)设单位向量,,…,，的度量矩阵为，则=，，.
2、...因此有。1)由定义，知，，，故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在中,求之间(积按通常定义)，设:1),，2),，3),。解1)由定义,得，所以。2)因为，，，，所以。3)同理可得,,,，....所以。3.通常为的距离，证明；。证由距离的定义及三角不等式可得。4在R中求一单位向量与正交。解设与三个已知向量分别正交，得方程组，因为方程组的系数矩阵A的秩为3，所以可令x，即。再将其单位化，则，即为所求。5．设是欧氏空间V的一组基，证明：1）如果使，那么。2）如果使对任一有，那么。证1)因为为欧氏空间V的一组基，且对，有，所以可设，且有....即证。2)由题设，对任一总有，
3、特别对基也有，或者，再由1)可得，即证。6设是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：也是一组标准正交基。证因为，同理可得，另一方面，同理可得，即证也是三维欧氏空间中的一组标准正交基。7.设也是五维欧氏空间中的一组标准正交基,，其中....,,，求的一组标准正交基。解首先证明线性无关.事实上，由，其中的秩为3，所以线性无关。将正交化，可得，，单位化，有，，，则为的标准正交基。8.求齐次线性方程组的解空间(作为的子空间)的一组标准正交基。解由....可得基础解系为，，，它就是所求解空间的一组基。将其正交化，可得，，，再将单位化,可得，，，则就是所求解空间的一组标准正交基。9.
4、在R[X]中定义积为(f,g)=求R[X]的一组标准正交基(由基1.出发作正交化)。解取R[X]的一组基为将其正交化,可得，，其中(，又因为，，，所以，同理可得，再将单位化，即得，....，，，则即为所求的一组标准正交基。10.设V是一n维欧氏空间,是V中一固定向量,1)证明:V是V的一个子空间；2)证明:V的维数等于n-1。证1)由于0因而V非空.下面证明V对两种运算封闭.事实上,任取则有(，于是又有(，所以。另一方面，也有(，即。故V是V的一个子空间。2)因为是线性无关的，可将其扩充为V的一组正交基，且((，。下面只要证明:对任意的可以由线性表出，则的维数就是。事实
5、上，对任意的，都有，于是有线性关系，且，但有假设知，所以，又因为，故，从而有，再由的任意性，即证。11．1）证明：欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的。2）利用上述结果证明：任一欧氏空间都存在标准正交基。证：1）设与是欧氏空间的两组不同基，它们对应的度量矩阵分别是和，另外，设到的过渡矩阵为，即，....===，另一方面,令，则D的元素为，故的元素，即证。再由皆为V的基，所以C非退化，从而B与A合同。2）在欧氏空间V中，任取一组基，它的度量矩阵为其中，且度量矩阵A是正定的，又因为正定矩阵与单位矩阵合同，即。于是只要，则由上面1）可知基的度量矩阵为E，这就是说，就是所求的标准
6、正交基。12．设是n维欧氏空间V中的一组向量，而证明：当且仅当时线性无关。证设有线性关系....，将其分别与取积，可得方程组，由于上述方程组仅有零解的充要条件是系数行列式不等于0，即证。13．证明：上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上元素为+1或-1。证设为上三角矩阵，则也是上三角矩阵。由于A是正交阵，所以，即，所以，因而为对角阵。再由知，即证或-1。14．1）设A为一个n阶矩阵，且，证明A可以分解成A=QT，其中Q是正交矩阵，T是一上三角矩阵，且，并证明这个分解是唯一的；2)设A是n阶正交矩阵，证明存在一上三角矩阵T，使。....证1)设A的n个列向量是由于，因此
7、是线性无关的。从而它们也是V的一组基，将其正交单位化，可得一组标准正交基为，其中，，其中。即，令，则T是上三角矩阵,且主对角线元素。另一方面，由于是n维列向量，不妨记为，且令....，则有,由于是一组标准正交基，故是正交矩阵。再证唯一性，设是两种分解，其中是正交矩阵，是主对角线元素大于零的上三角阵，则，由于也是正交矩阵,且为上三角阵，因此,是主对角线元为1或-1的对角阵，但是的主对角线元大于零，所以的主对角线元只能是1，故，即证。进而有,从而分解是唯一的。2)因为是正定的，所以与合同，即存在可逆阵使,再由1)知,其中是正交矩阵为三角阵，所
