数学建模(飞行管理问题)

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1、飞行管理问题摘要让飞机在某正方形区域内安全飞行，便于进行飞行管理，所以在飞机飞行过程中，要适当调整各架飞机的方向角（调整幅度尽量小），以避免发生碰撞。本文通过对两两飞机飞行过程最小临界距离大于8km为入手点，以时刻后飞机所处状态为研究对象。通过点的向量平移，找出临界距离（8km）视为界点，再通过两点距离公式列出一元二次不等式，转化为一元二次方程根的情况，判断的取值。当＜0时，说明方程无实数解，即该两飞机不会碰撞。当≥0时，说明方程有实数解，且可以求出对应的值，看是否在规定区域范围内（0≤≤0.283h）。若

2、t不在范围内，说明两飞机在规定区域不会发生碰撞，而在区域范围外会发生碰撞（不在我们考虑范围内）若在所规定范围，说明两飞机会在区域范围内发生碰撞，此时应调整各架飞机的方向角。方向角的调整虽然在30内有足够空间（相应的可行解就很多），但又要求所调整的幅度尽可能小（就要求我们求出相应的最优解），故当调整一架飞机方向角后，应该对应判断该飞机与其余各飞机是否会发生碰撞。最后，我们对模型的优缺点和改进方向作了分析。关键词向量平移最短临界距离方向角调整幅度6一、问题重述（略）二、模型假设：（1）不碰撞的标准为任意两架飞机

3、的距离大于8km（2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30（3）所有飞机飞行速度均为每小时800km（4）进入该区域的飞机在到达该区域边缘时，与区域内的距离应在60km以上（5）最多需要考虑6架飞机（6）不必考虑飞机离开此区域后的状况（7）飞机调整方向角后，不受偏转弧度的影响（8）每架飞机在调整角度后都沿调整后的方向角飞出区域外（9）新进入的飞机在进入区域的瞬间，不考虑计算机记录时的时间间隔飞机所飞行的距离（即该时间间隔忽略不计）（10）每架飞机都视为质点三、符号说明：表示飞机编号（=1,2,3,4,5,6

4、）表示第架飞机所处位置的横坐标表示第架飞机所处位置的纵坐标表示第架飞机的初始方向角表示第架飞机所调整的方向角表示各架飞机飞行过程达到最短临界距离所用时间表示时刻后第架飞机与第架飞机的距离（i≠j）表示第架飞机初始记录的点的坐标表示第架飞机经时刻后的点的坐标ai表示第Ai点经过时刻后所平移的向量四、模型建立与求解6由假设（1），我们简单分析两架飞机的情形，最终直接运用于多架飞机的情形，题目要求飞机间两两不碰撞。首先我们在不调整各架飞机方向角时，按各飞机初始位点来判断各飞机的碰撞情况，从图（一）中可以大致估算两

5、两飞机在区域范围内的飞行情况，从而可以初步预测和排除部分飞机的碰撞情况。每架飞机在区域范围内飞行的时间范围为[0，0.283]h，即从原点沿正方形区域对角线飞出的飞机所用时间最大为0.283h。平移向量为ai=（vtcosi,vtsini），Ai=(xi,yi),Bi=(xi+vtcosi,yi+vtsini)我们建立初始模型:，或(i,j=1,2,3,4,5,6i≠j)0≤t≤0.283h问题转化为：0≤t≤0.283h用上述不等式判断初始时刻两两飞机的碰撞情况，3501001608016014215xy

6、图（一）即6进而有：因为＞0，所以可以求出一元二次方程的两个根=0.13h,=0.14h、[0，0.283]，可知6、3飞机会在[0.13，0.14]时间范围内发生碰撞。即因为＜0，所以一元二次方程无实数解，即4、3飞机不会发生碰撞。同理，可以判断，其余各架飞机按初始方向角飞行的碰撞情况如表（一）所示：(T表示会发生碰撞，F表示不会发生碰撞)飞机编号1234561FFFFF2FFFFF3FFFFT4FFFFF5FFFFT6FFTFT表（一）从图（一）初位点可以直观看出，当6增大时，它与原来不发生碰撞的飞机1

7、、2仍保持不碰撞，又6的可调范围为30内，此时以6=306，其余飞机保持原来的方向角不调整进行计算，可使得每架飞机都不发生碰撞。但要使方向角的调整幅度尽量小，应该尽量让每架飞机都进行稍微的调整。下面我们给定6=5.00并判断出6与3、5飞机不发生碰撞，但此时6与4会发生碰撞，则我们只需对应给4=5.00就可保证6与4不发生碰撞。从而有表（二）调整方式：飞机编号(i)123456i0005.0005.00表（二）最终模型：0≤≤0.283hV=800km/h四、模型的优缺点与分析优点：在调整各飞机偏转的方向角

8、时，我们只调整少数飞机，能把问题的计算简单化，而且借助各架飞机初始位点的运动路线，更直观地初步判断各飞机于某时刻的基本碰撞情况。缺点：调整各飞机方向角时，只调整少数飞机，使得要调整的方向角幅度较大，所以找到的角度不能达到最优，只是可行解。假设（9）中过于理想化，与实际的情况还有一定差距，比如，在飞机的飞行过程中，它会受到风速、仪器、天气的影响，进而导致飞行员在调整角度的过程中可能出现偏差。五、模型推广此类模型可以