量子力学复习题部分解答

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1、s5如果算符、满足条件，求证：，，证]利用条件，以左乘之得则有最后得。再以左乘上式得，即则有最后得7（10分）求角动量z分量的本征值和本征函数。解：波函数单值条件，要求当φ转过2π角回到原位时波函数值相等，即：求归一化系数最后，得Lz的本征函数910在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为①将式中的代换，得　　②利用，得③比较①、③式可知，都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此之间只能相差一个常数。方程

2、①、③可相互进行空间反演而得其对方，由①经反演，可得③，④由③再经反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。　　　　　　　　⑤④乘⑤，得可见，当时，，具有偶宇称，当时，，具有奇宇称，当势场满足时，粒子的定态波函数具有确定的宇称11一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：无关，是定态问题。其定态S—方程在各区域的具体形式为Ⅰ：①Ⅱ：②Ⅲ：③由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必须即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为令，得其解为④根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条

3、件，得⑤　　⑥　　　　⑤　⑥　∴由归一化条件得由可见E是量子化的。对应于的归一化的定态波函数为12设t=0时，粒子的状态为求此时粒子的平均动量和平均动能。解：可见，动量的可能值为动能的可能值为对应的几率应为上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得∴∴动量的平均值为#13一维运动粒子的状态是其中，求：(1)粒子动量的几率分布函数；(2)粒子的平均动量。解：(1)先求归一化常数，由∴动量几率分布函数为(2)14在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函数描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平

4、均值。解：由波函数的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为动量的几率分布函数为先把归一化，由归一化条件，∴∴∴151516氢原子处在基态，求：(1)r的平均值；(2)势能的平均值；解：(1)17限高势阱中的粒子质量为的一个粒子在边长为立方盒子中运动，粒子所受势能由下式给出：（1）列出定态薛定谔方程，用分离变量法（）求系统能量本征值和归一化波函数；解：（1）定态薛定谔方程：分离变量：，；；，基态：，基态波函数：18氢原子处于态中，问（1）是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。若不是，说明理由；

5、（2）在中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多少？19求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。解：基矢：能量：对角元：当时，#2021设一体系未受微扰作用时有两个能级：，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为；都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。解：由微扰公式得得∴能量的二级修正值为22一维无限深势阱(0

6、扰修正。解：（）能级和能量本征函数为（3）（4）基态是非简并的，能级，本征函数为（5）第一激发态是二重简并的，能级,本征函数为（6）()基态能级的一级修正等于的平均值，即（7）第一激发态（8）结论：在微扰作用下，基态能级升高，第一激发能级的重心也升高，同时分裂为二，裂距为0.065。质量为m的粒子处于位势中。假设它又经受微扰，试求第一激发态能量的一级修正。六.(16分)3分粒子的能量为第一激发态为112121211，5分4分于是有：2分2分26用试探波函数，估计一维谐振子基态能量和波函数归一化，（2分）（6分）（动能计

7、算错扣3分）另一种求法,（3分）（3分）,（结果错扣3分）27设粒子在一维空间中运动，其哈密顿量为，它在0表象中的表示为，A.求的本征值和本征态；B.若时，粒子处于f1，它在表象中的表示为。试求出t>0时的粒子波函数；A.,，（2分）,（2分）B.（4分）（4分）28.一电荷为的线性谐振子受恒定弱电场作用。设电场沿方向：（1）用微扰法求能量至二级修正；（2）求能量的准确值，并和（1）所得的结果比较。[解]（1）荷电为的线性谐振子由于电场作用所具有的能量为，因为是弱电场，故与无电场时谐振子具有的总能量相比较，显然有令，显

8、然，可以看作微扰，因此可以用微扰法求解。线性谐振子在外电场作用下的总哈密顿算符是无微扰时，线性谐振子的零级波函数是当体系处于第态时，考虑微扰的影响，则能量变为其中其中利用递推公式故利用厄密多项式的正交性可以看出上面的积分为零，即这表明能量一级修正为零。下面求能量的二级修正。为此计算矩阵元而最后得能量的二级修正为故在准确到二级修正的