量子力学复习题部分解答.doc

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1、s5如果算符、满足条件，求证：，，证]利用条件，以左乘之得则有最后得。再以左乘上式得，即则有最后得7<10分）求角动量z分量的本征值和本征函数。解：波函数单值条件，要求当φ转过2π角回到原位时波函数值相等，即：30/30求归一化系数最后，得Lz的本征函数930/3010在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为①将式中的代换，得②利用，得③比较①、③式可知，都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此之间只能相差一个常数。方程①、③可相互进行空间反演而得其对方，由①经3

2、0/30反演，可得③，b5E2RGbCAP④由③再经反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。⑤④乘⑤，得可见，当时，，具有偶宇称，当时，，具有奇宇称，当势场满足时，粒子的定态波函数具有确定的宇称11一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：无关，是定态问题。其定态S—方程在各区域的具体形式为Ⅰ：①Ⅱ：②Ⅲ：③由于(1>、(3>方程中，由于，要等式成立，必须30/30即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2>可变为令，得其解为④根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得⑤⑥⑤⑥∴由归一化条件得由可见E是量子化的。对应于的归一化的定态波函数为3

3、0/3012设t=0时，粒子的状态为求此时粒子的平均动量和平均动能。解：可见，动量的可能值为动能的可能值为对应的几率应为上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得∴∴动量的平均值为30/30#13一维运动粒子的状态是其中，求：(1>粒子动量的几率分布函数；(2>粒子的平均动量。解：(1>先求归一化常数，由∴动量几率分布函数为(2>30/3014在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函数描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。解：由波函数的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为动量的几率分布函数为先把归一化，由归一化条

4、件，∴∴30/30∴1530/301530/3016氢原子处在基态，求：(1>r的平均值；(2>势能的平均值；解：(1>1730/30限高势阱中的粒子质量为的一个粒子在边长为立方盒子中运动，粒子所受势能由下式给出：<1）列出定态薛定谔方程，用分离变量法<）求系统能量本征值和归一化波函数；解：<1）定态薛定谔方程：分离变量：，；；30/30，基态：，基态波函数：18氢原子处于态中，问<1）是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。若不是，说明理由；<2）在中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多少？19求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。解：基矢：能量：对角元

5、：当时，30/30#2030/3021设一体系未受微扰作用时有两个能级：，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为；都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。p1EanqFDPw解：由微扰公式得得∴能量的二级修正值为22一维无限深势阱(0中的粒子，受到微扰作用，求基态能量的一级修正.30/30。2330/3030/3030/302430/3025.<）粒子在二维无限深方势阱中运动，<1）试写出能级和能量本征函数<能量最低的两个态）；30/30<）加上微扰<2）求最低的两个能级的一级微扰修正。解：<）能级和能量本征函数为<3）<4）基态是非简并的，能级，本征函数为<5）第一激发态

6、是二重简并的，能级,本征函数为<6）(>基态能级的一级修正等于的平均值，即<7）第一激发态<8）结论：在微扰作用下，基态能级升高，第一激发能级的重心也升高，同时分裂为二，裂距为0.065。质量为m的粒子处于位势中。假设它又经受微扰，试求第一激发态能量的一级修正。六.(16分>3分粒子的能量为30/30第一激发态为112121211，5分30/304分于是有：2分2分26用试探波函数，估计一维谐振子基态能量和波函数归一化，<2分）<6分）<动能计算错扣3分）另一种求法30/30,<3分）<3分）,<结果错扣3分）27设粒子在一维空间中运动，其哈密顿量为，它在0表象中的表示为，A.

7、求的本征值和本征态；B.若时，粒子处于f1，它在表象中的表示为。试求出t>0时的粒子波函数；A.,，<2分）,<2分）B.<4分）<4分）30/3028.一电荷为的线性谐振子受恒定弱电场作用。设电场沿方向：<1）用微扰法求能量至二级修正；<2）求能量的准确值，并和<1）所得的结果比较。[解]<1）荷电为的线性谐振子由于电场作用所具有的能量为，因为是弱电场，故与无电场时谐振子具有的总能量相比较，显然有DXDiTa9E3d令，显然，可以看作微扰，因此可以用微扰法求解。线性谐振子在外电场作用下的总