双曲线的几何性质学案1

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1、第7课时　双曲线的几何性质(1)　教学过程一、问题情境问题1　前面的课根据椭圆的标准方程研究了椭圆的哪几种性质?解　范围、对称性、顶点、离心率.问题2　椭圆+=1(a>b>0)的具体几何性质是什么?问题3　现在能根据双曲线的标准方程研究双曲线的几何性质吗?二、数学建构类比椭圆+=1(a>b>0)的几何性质,探讨双曲线-=1(a>0,b>0)的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率.(程序是:学生:自我思考→得出初步结论→小组讨论→得出满意结论→回答所得结论(与大家交流);教师:启发诱导→点拨释疑→补充完善

2、)(1)范围:观察双曲线的草图,可以直观看出曲线在坐标系中的范围.双曲线在两条直线x=±a的外侧.注意:从双曲线的方程如何验证?从标准方程-=1可知-1=,由此双曲线上点的坐标都适合不等式≥1,即x2≥a2,

3、x

4、≥a,即双曲线在两条直线x=±a的外侧.(2)对称性:双曲线-=1关于每个坐标轴和原点都是对称的,坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线-=1的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.(3)顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点.在双曲线-=1的方程中,对称轴是x轴、y轴,所以令y=0得

5、x=±a,因此双曲线和x轴有两个交点A1(-a,0),A2(a,0),它们是双曲线-=1的顶点,线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长为2a,a叫做双曲线的实半轴长.令x=0,没有实根,因此双曲线和y轴没有交点.我们定义点(0,±b)为虚轴的端点B1,B2,它们的连线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长.实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线的性质:①渐近线方程为y=±x;②渐近线互相垂直;③离心率e=.等轴双曲线可以设为x2-y2=λ(λ≠0),当λ>0时焦点在x轴

6、上,当λ<0时焦点在y轴上.列表:　　　　方程性质　　　　+=1(a>b>0)-=1(a>0,b>0)范围-a≤x≤a,-b≤y≤bx≥a或x≤-a,y∈R对称性关于坐标轴、原点都是对称的(对称轴、对称中心)关于坐标轴、原点都是对称的(对称轴、对称中心)顶点四个,A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)两个,A1(-a,0),A2(a,0)离心率e=<1,反映椭圆圆扁程度e=>1　　注意:在作图时,我们常常把虚轴的两个端点画上(为确定渐近线),但要注意它们并非是双曲线的顶点.　

7、(图1)(4)渐近线的发现与论证:根据双曲线的上述性质,能较为准确地把双曲线-=1画出来吗?(能)通过列表描点,能把双曲线的顶点及附近的点,比较精确地画出来,但双曲线向何处伸展就不很清楚.我们能较为准确地画出曲线y=,这是为什么?(因为当双曲线伸向远处时,它与x轴、y轴无限接近)此时,x轴、y轴叫做曲线y=的渐近线.(图2)对渐近线并不陌生,例如:直线x=kπ+(k∈Z)是正切函数y=tanx图象的渐近线.双曲线有没有渐近线呢?如果有,又该是怎样的直线呢?引导猜想:在研究双曲线范围时,由双曲线的标准方程

8、-=1可解出y=±=±x.　当x无限增大时,就无限趋近于零,也就是说,这时双曲线y=±x与直线y=±x无限接近.[1]这使我们有理由猜想直线y=±x为双曲线的渐近线.直线y=±x恰好是过实轴端点A1,A2,虚轴端点B1,B2,作平行于坐标轴的直线x=±a,y=±b所成的矩形的两条对角线,那么,如何证明双曲线上的点沿曲线向远处运动时,与渐近线越来越接近呢?显然,根据双曲线的对称性,只要考虑双曲线在第一象限就可以了.学生探讨证明方法,教师可给予适当提示,寻找不同的证明方法,找学生板演其推理过程,对于基础好一

9、点的学生,可能会得到如下三种证法.[2]证法一　如图2,设M(x0,y0)为第一象限内双曲线-=1上的任一点,则y0=,M(x0,y0)到渐近线ay-bx=0的距离为d===(x0-)=·.点M向远处运动,随着x0增大,d就逐渐减小,点M就无限接近于直线y=x.证法二　如图3,设Q为渐近线上与M(x0,y0)有相同横坐标的点,于是yQ=x0.MQ=yQ-y0=(x0-)=·=.点M沿曲线向远处运动,随着x0增大,MQ逐渐减小.(图3)　证法三　如图3,设P为渐近线上与M(x0,y0)有相同纵坐标的点,于

10、是xP=y0,x0=a=,MP=x0-xP=(-y0)=·=.点M沿曲线向远处运动,随着x0增大,MP逐渐减小.解决了双曲线向远处伸展时的趋向问题,从而可较准确地画出双曲线,比如画双曲线-=1,先作双曲线矩形,画出其渐近线,就可随手画出比较精确的双曲线.[3](5)离心率:与椭圆一样,双曲线的焦距与实轴长的比值e=叫做双曲线的离心率.显然,e>1.a,b,c,e间的关系:e=>1,c2=a2+b2,e====.由图3可知,双曲线夹在两条渐近