伴随矩阵的性质及运用11

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1、伴随矩阵的性质及运用邓文斌09数计(2)班电话:13697032201摘要伴随矩阵是矩阵的重要概念,有它可以推导出方阵的逆矩阵的计算公式从而解决方阵求逆的问题。同时伴随矩阵的性质也相当重要,本文列举了伴随矩阵的若干性质及给出了相关证明,最后给出了用性质解决问题。关键字:矩阵;伴随矩阵;性质;运用引言因为伴随矩阵是学习矩阵的一个重要知识点在计算中经常出现把矩阵的伴随矩阵看作一般的一个矩阵来研究.给出了伴随矩阵的秩、伴随矩阵的转置、伴随矩阵的特征值、几个特殊矩阵的伴随矩阵的性质以及伴随矩阵的其他性质.这些性质能帮我们方便解决在计算矩阵时遇到的问题.1.伴随矩阵的定义设

2、是矩阵A=中元素的代数余子式,矩阵=称为A的伴随矩阵。A的伴随矩阵有两步骤定义:(1)把A的每个元素都换成它的代数余子式,(代数余子式定义:在一个n级行列式D中,把元素第i行第j列元素(i,j=1,2,。。。。n)所在的行与列划去后,剩下的个元素按照原来的次序组成一个n-1阶行列式,称为元素的余子式,带上符号称为的代数余子式,记作。)(2)将所得到的矩阵转置便得到A的伴随矩阵。2.伴随矩阵的实例2.1二阶伴随矩阵的求法设A是一个二阶矩阵,则有A可得(i,j=1,2)为代数余子式则A的伴随矩阵为=2.2三阶伴随矩阵的求法对于三阶矩阵首先求出各代数余子式A11=(-1)^2

3、*(a22*a33-a23*a32)=a22*a33-a23*a32A12=(-1)^3*(a21*a33-a23*a31)=-a21*a33+a23*a31A13=(-1)^4*(a21*a32-a22*a31)=a21*a32-a22*a31A21=(-1)^3*(a12*a33-a13*a32)=-a12*a33+a13*a32……A33=(-1)^6*(a11*a22-a12*a21)=a11*a22-a12*a21然后伴随矩阵就是3.伴随矩阵的性质3.1,E为n阶单位矩阵。3.2矩阵A式可逆矩阵的充分必要条件是A非退化,而()证明:当,由,可知,A可逆,且反过

4、来,如果A可逆,那么有使两边去行列式,得因而,即A非退化。该性质用来直接求逆矩阵,对于求逆矩阵和矩阵证明有用。3.3若A为非奇异矩阵,则证明:因为,由两边取逆可得,故另一方面,由,有可得综上,该性质说明了A的逆你伴随矩阵和A的联系。1.伴随矩阵的性质4.1令A,B为n阶矩阵,则(1)A对称(2)A正交(3)若A与B等价,则(4)若A与B相似,则(5)若A与B合同,则(6)A=B;(7)A正定(8)A为可逆矩阵(9)如果A是可逆矩阵,那么A为反对称证明:这里只证(1),(2),其余的这里就不再证明了。(1);(2)因为A是正交矩阵,故是正交矩阵.4.2,其中A是n阶方阵(

5、n2)证明:若若,这时秩1,,而也有综上得4.3设A为n阶矩阵,则秩=证明:事实上,当秩A=n,即A可逆时,由于,故也是可逆的,即秩=n当秩A=n-1时,有,于是,,从而秩;又因秩A=n-1,所以至少有一个代数余子式,从而又有秩,于是秩=1当时,=0,即此时秩=04.4若A=,则证明:==4.5设k为常数,证明:。4.6当A可逆时,。证明:由,。而,故结论成立。4.7证明:当=0时,秩=0,=0,当时,4.8=证明:=而,故结论成立。4.9若A为正交矩阵,则也是正交矩阵。证明:因为A为正交矩阵,则于是故也是正交矩阵。4.10设为n阶可逆矩阵A的一个特征值,则为的特征值。

6、证明:,又为的特征值,故存在非零向量a,使即从而,故为的特征值。4.11若A是正定矩阵,则也是正定矩阵。证明 首先正定矩阵有以下结论:A是正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全为正。不妨设、为A的特征值,若A是正定矩阵,则λ>0,i=1,2,…,n,

7、A

8、>0且A可逆。因为=

9、A

10、,所以的特征值为:

11、,由以上的条件知,的所有特征值全都为正。所以也是正定矩阵。5伴随矩阵的应用5.1若,求。解:A=,,,由3.2性质得。此题比较常见求A的逆矩阵问题5.2设.解:由,因为本题所以.此题是求A的逆矩阵的伴随矩阵,若用伴随矩阵的定义求解则太复杂5.1已知3阶矩阵A的逆矩阵为

12、试求伴随矩阵的逆矩阵.解:,,又性质3.3得,,所以。此题把求A的伴随矩阵的逆矩阵问题转化为求A的逆矩阵的伴随矩阵问题。5.2若,则求。解:,又,得,。5.4已知为一三阶可逆矩阵,它的伴随矩阵为,且,求.解.5.5、已知和均为阶矩阵,相应的伴随矩阵分别为和,分块矩阵,求的伴随矩阵.解由得,5.6设为一个3阶矩阵,且已知,求.解因为,所以.5.7已知都是阶方阵,.解5.8已知为阶可逆矩阵,且,化简.解因为,所以,所以5.9已知和为三阶可逆矩阵,且,,求.解经计算可得,所以5.10设、为三阶相似矩阵,的特征值为1,1,3,求.解因为的特征值为

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