伴随矩阵的性质及运用（页）

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1、伴随矩阵的性质及运用邓文斌09数计（2）班电话：13697032201摘要伴随矩阵是矩阵的重要概念，冇它可以推导出方阵的逆矩阵的计算公式从而解决方阵求逆的问题。同时伴随矩阵的性质也相当重要，木文列举了伴随矩阵的若干性质及给出了相关证明，最后给出了用性质解决问题。关键字：矩阵；伴随矩阵;性质；运用引言因为伴随矩阵是学习矩阵的一个重要知识点在计算中经常出现把矩阵的伴随矩阵看作一般的一个矩阵来研究.给出了伴随矩阵的秩、伴随矩阵的转置、伴随矩阵的特征值、几个特殊矩阵的伴随矩阵的性质以及伴随矩阵的其他性质•

2、这些性质能帮我们方便解决在计算矩阵时遇到的问题.1.伴随矩阵的定义°iia2…°巾设州是矩阵A=夠如…%屮元素知•的代数余子式，矩阵••••••••••••Ai41…Ah血血…人2称为A的伴随矩阵。AhA.A的伴随矩阵/T冇两步骤定义：（1）把A的每个元素都换成它的代数余子式，（代数余子式定义：在一个n级行列式D〕

3、i,把元素第i行第j列元素陶（i,j=1,2,oooon）所在的行与列划去后,剩下的（n-1）2个元素按照原来的次序组成一个n-1阶行列式称为元索知的余子式，M“带上符号（-1），+

4、7称为陶的代数余子式，记作每=（-1广叫。）（2）将所得到的矩阵转置便得到A的伴随矩阵。2.伴随矩阵的实例2」二阶伴随矩阵的求法设A是一个二阶矩阵如则有a可得州（i,j=l,2）为代数余了务3如A.=(-1尸*如=a22A2=（-1严％=~a2l=(-1严忆2=~a!2=(-l)2+2*an=al则A的伴随矩阵才为11“I?]如。14_

5、。21~a22.2三阶伴随矩阵的求法All二(-1厂2*(a22*a33--a23A12二(-1厂3*(a21*a33--a23A13二(-1厂4*(a21*

6、a32--a22A21二(-1厂3*(al2*a33--al3A33二(-1厂6*(all*a22--al2首先求出各代数余了式*a32)二a22*a33-a23*a32*a31)二-a21*a33+a23*a31*a31)二a21*a32-a22*a31*a32)二-al2*a33+al3*a32*a21)二all*a22-al2*a21对于三阶矩阵a\ai2ai3a21a22a23_a3a32a33_然后伴随矩阵就是A.A2A3A321.伴随矩阵的性质3.1AA^=A^A=

7、A

8、E,E为n

9、阶单位矩阵。3.2矩阵A式可逆矩阵的充分必要条件是A非退化，而A-'=丄“d（〃=

10、十0）证明：当d=

11、川工0,由宀丄才(1、(1、—d)Jd)AA=E可知，A可逆，1反过来，如果A可逆,那么有4一】使A~lA=E两边去行列式，得a_i

12、

13、a

14、=

15、e

16、=i因而A」工0,即A非退化。该性质用来肓接求逆矩阵，对丁•求逆矩阵和矩阵证明冇用。3.3若A为非奇异矩阵，贝lJ(A-1)*=(A：9_，证明：因为(M)-1=丄由犷=丄"两边取逆可得kd心附)另一-方面，由犷=丄才,d有(町d可得(犷)胡A综上

17、，(犷)*=(心“该性质说明了A的逆你伴随矩阵和A的联系。3.伴随矩阵的性质3.1令A,B为n阶矩阵,则(1)A对称=>"对称；(2)A正交o"正交；(3)若A与B等价,贝IJ”与刃也等价;(4)若A与B相似，则/T与戌也相似;(5)若A与B合同，则"与刃也合同;(6)A二Bn”二戌；(7)A正加=>”正泄;(8)A为可逆矩阵=>"为可逆矩阵；(1)如果A是可逆矩阵，那么A为反对称为反对称.证明：这里只证(1),(2),其余的这里就不再证明了。(1)v(A*)r=(Ar)*=A/.A*为对称矩阵

18、;(2)因为A是正交矩阵，故AAr=E,AA')t=AATY=(AtAY=E*=E<=>A*是止交矩阵.4.2

19、A*

20、=

21、A

22、n_，,其中A是n阶方阵(n>2)证明：若ao,vAA*=

23、a

24、e,.Iaa*

25、=

26、a

27、w，/.

28、a

29、

30、a*=

31、歼,.•・An=

32、a厂若

33、a

34、=o,这时秩a*

35、a*

36、=o,而也有

37、a*

38、=

39、4，-1综上得

40、A*

41、=

42、A

43、n_1/2,当秩A=n时4.3设A为n阶矩阵，则秩A*=1,当秩A=n・l时0,当秩A

44、于

45、A*

46、=

47、A

48、n_，,故A*也是可逆的,即秩/f=n当秩A=n-1时，有

49、A

50、=0,于是，A4，=

51、A

52、<£=0,从而秩A*<1；又因秩A=n-1,所以至少有一个代数余了式每H0,从而又有秩A*>1,于是秩才=1当0S秩As-1时,A*=0,即此时秩A*=04.4若AS,则(Ar)*=A*证明:(Ary=K

53、(Ar)_1=A*4.5设k为常数，(R町斗一f证明：(比町=网

54、(肋广=£”

55、力片

56、犷=严久。4.6当A可逆时,（町'=（巧*=詁。证明：由AA*=

57、a

58、E,（A"）=j