矩阵的伴随矩阵的性质

《矩阵的伴随矩阵的性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、矩阵的伴随矩阵的性质数学计算机学院数学与应用数学（师范）2011届方娜摘要:本文首先回顾了伴随矩阵的定义，讨论了伴随矩阵的秩、可逆性、特征值及一些特殊矩阵的伴随矩阵，并加以证明.最后给出了某些性质的简单应用.关键词:伴随矩阵;矩阵的秩;矩阵的逆;性质中图分类号：O151.21ThepropertiesofAdjointMatrixAbstract:Theconceptoftheadjointmatrixwasfirstlyreviewed,thentherank,thereversibility,theeigenvalueoftheadjointmat

2、rixandadjointmatricesofsomespecialmatriceswerediscussed,withproofsofthepropertiesbeinggivenout.Lastly,thesimpleapplicationsofthepropertiesaboutadjointmatrixweregivenout.Keywords:adjointmatrix；therankofthematrix；inversematrix；property1目录1前言12伴随矩阵的定义13伴随矩阵的性质13.1伴随矩阵的基本性质13.2伴随矩阵秩

3、的性质33.3伴随矩阵特征值的性质43.4特殊矩阵的伴随矩阵的性质44伴随矩阵的性质的简单应用7结束语8参考文献9致谢9矩阵的伴随矩阵的性质21前言矩阵是高等代数的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具.伴随矩阵作为矩阵中较特殊的一类，其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中，伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的，并没有进行深入的研究.本文分类研究了伴随矩阵的性质，并给予证明，得到一系列有意义的结果.从而使高等代数中的概念—伴随矩阵比较完整地呈现在我们面前.2伴随矩阵的定义设n阶矩阵=,是A中元素的代数余子式，称矩阵为的伴随矩阵.3伴随矩阵的性

4、质3.1伴随矩阵的基本性质定理3.1[1]阶矩阵可逆的充分必要条件是;当可逆时,,其中为的伴随矩阵.性质1设为的伴随矩阵,则.2证明［2］由行列式按一行（列）展开的公式3可得.注：（1）可逆时，;（2）有时用伴随矩阵来处理有关代数余子式问题.推论3.1与同时可逆或同时不可逆，且为阶可逆矩阵，则.性质2.证明若可逆,则，由性质1得.两边取行列式，得，也就是.又，则.若不可逆,则［3］,于是A或0.所以，.性质3设为阶方阵，为任意非零常数,则.证明设，，性质4证明（法一）设，则,其中是中元素的代数余子式.又设，其中是中元素在中的代数余子式.由于在中的代数余

5、子式与在中的代数余子式互为转置行列式，故.从而.34（法二）由性质2注（1），.性质5证明由性质1注（1），.推广设均为阶方阵，则，特别地，，为正整数.3.2伴随矩阵秩的性质矩阵的秩是矩阵的重要特性，若以表示矩阵的秩，则有以下结论:定理2［3］设是阶矩阵，则证明（1）当时，，由性质2，,所以.（2）当时，有.于是，由知的列向量都是方程组的解.由于，则齐次线性方程组的解向量组的秩为，知的列向量组的秩为1，即列秩为1，故.(3)当时，的每一个元素都是0，因为没有不为0的阶子式，故.性质6，特别，当时，.证明当可逆，即时，由性质1得.所以，.当不可逆，即时，

6、,所以.因此.4性质7设阶矩阵的秩是，那么存在数使得.5证明由定理2得，，于是必存在的一个列向量使得.因此，，这里.3.3伴随矩阵特征值的性质性质8设为阶可逆矩阵的一个特征值，则为的特征值.证明因为，又为的特征值，故存在非零向量，使得，即，从而，故为的特征值.性质9设阶可逆矩阵的特征根为个非零实数，则的特征根.证明在两边左乘，利用得到，所以故为的特征值.3.4特殊矩阵的伴随矩阵的性质性质10可逆的充分必要条件是可逆.证明必要性由性质1知，.若可逆，则.所以，5.由可逆矩阵的定义可知可逆.充分性欲证命题成立，只需证其逆否命题成立.即需证若不可逆则也不可逆

7、.即证若则.用反证法.假设，则可逆.由得，由伴随矩阵的定义可知与矛盾.故假设不成立，原命题成立.综上所述，可逆可逆.性质11若对称，则也对称.证明设,因为是对称的，所以.因此且.从而，,即是对称的.性质12设可逆，若是对称矩阵，则为对称矩阵.证明所以，为对称矩阵.性质13若为阶反对称矩阵，则当为偶数时，仍为反对称矩阵；当为奇数时，为对称矩阵.证明由性质3知，又,由性质4得，.所以，当为奇数时，,此时是对称方阵;当为偶数时，，此时是反对称方阵.性质14上（下）三角矩阵的伴随矩阵仍为上（下）三角矩阵.6证明设,当时，.6直接计算得，,.即,则亦为上三角矩阵

8、.同理可证，若为下三角矩阵，则也为下三角矩阵.推论2.2对角矩阵的伴随矩阵仍为对角矩阵.性质1