正弦函数y=sinx的图象和性质

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1、【本讲教育信息】一.教学内容：1.3.1正弦函数的图象和性质二.教学目的1、掌握用几何法绘制正弦函数的图象的方法；掌握用五点法画正弦函数的简图的方法及意义；2、掌握正弦函数的性质及应用；3、掌握正弦型函数的图象（特别是用五点法画函数的图象）、性质及应用。三.教学重点、难点重点：1、用五点法画函数的简图；2、函数的性质及应用；3、函数与的图象的关系。难点：1、正弦函数的周期性和单调性的理解；2、函数与的图象的关系。四.知识分析1、正弦函数图象的几何作法采用弧度制，x、y均为实数，步骤如下：（1）在x轴上任取一点O1，以Ol为圆心作单位圆；（2）从这个圆与

2、x轴交点A起把圆分成12等份；（3）过圆上各点作x轴的垂线，可得对应于0、、、、的正弦线；（4）相应的再把x轴上从原点O开始，把这0～这段分成12等份；（5）把角的正弦线平移，使正弦线的起点与x轴上对应的点重合；（6）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来。2、五点法作图描点法在要求不太高的情况下，可用五点法作出，的图象上有五点起决定作用，它们是。描出这五点后，其图象的形状基本上就确定了。因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用平滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦函数的简图，这种方法叫做五点法。注意：（1）描点法所取的各点的

3、纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够精确。（2）几何法作图较为精确，但画图时较繁。（3）五点法是我们画三角函数图象的基本方法，要切实掌握好，与五点法作图有关的问题曾出现在历届高考试题中。（4）作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，因此在x轴、y轴上可以统一单位，作出的图象正规，便于应用。（5）如果函数表达式不是，则那五点就可能不是如：用“五点法”作函数的简图，所用的五个关键点列表就是：而用“五点法”作函数的简图，开始的一段图象所用的五个关键点列表就是：x0π2πy010－103、正弦曲线下

4、面是正弦函数的图象的一部分：4、正弦函数的值域从正弦线可以看出：正弦线的长度小于或等于单位圆半径的长度；从正弦曲线也可以看出：正弦曲线分布在y=1和y＝－1之间，说明

5、sinx

6、≤1，即正弦函数的值域是［－1,1］。注意：这里所说的正弦函数的值域是[－l,1]，是指整个正弦曲线或一个周期内的正弦曲线。如果定义域不为全体实数，那么正弦函数的值域就可能不是［－1,1］。如，则值域就是[0，1]，因而在确定正弦函数的值域时，要特别注意其定义域。5、周期函数的定义一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x＋

7、T)＝f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。注意：(1)定义应对定义域中的每一个x值来说，只有个别的x值或只差个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)或不满足都不能说T是f(x)的周期。例如：但是就是说，不能对x的定义域内的每一个值都有,因此不是sinx的周期。（2）从等式f(x＋T)＝f(x)来看，应强调的是与自变量x本身相加的常数才是周期，如f(2x+T)=f(2x),T不是f(2x)的周期，而应写成f(2x+T)＝＝f(2x)，则是f(2x)的周期。（3）对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最

8、小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期。（4）并不是所有周期函数都存在最小正周期．例知，常数函数f(x)=C(C为常数),x∈R，当x为定义域内的任何值时，函数值都是C，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x，都有f(x+T)＝C，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)没有最小正周期。再如函数设r是任意一个有理数，那么当x是有理数时，x+r也是有理数，当x为无理数时，x+r也是无理数，就是说D(x)与D(x+r)或者等于1或者等于O，因此在两种

9、情况下，都有D(x+r)＝D(x)，所以D(x)是周期函数，r是D(x)的周期，由于r可以是任一有理数，而正有理数集合中没有最小者，所以D(x)没有最小正周期。（5）“f(x+T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值。（6）周期函数的周期不只一个，若T是周期，则kT(k∈N*)一定也是周期。（7）在周期函数y＝f（x）中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x+kT也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集。6、正弦函数的周期性（1）从正弦线的变化规律可以看出，正

10、弦函数是周期函数，是它的周期，最小正周期是2π。（2）正弦函数的周期也可由诱导公式sin(x+