几何非线性有限元分析课件(1)

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1、第8章几何非线性有限元分析8.1大变形条件下的应变和应力度量一．应变度量结构的初始构型：P：，Q：t时刻的构型：P’：，Q’：21两种构型下的坐标可相互转化：*拉各朗日（Lagrange）描述基于变形前的构型表述变形后的构型。以变形前的各点坐标为基本未知数，描述各个量。*欧拉（Eular）描述基于变形后的构型表述变形前的构型。以变形后的各点坐标为基本未知数，描述各个量。21根据以上变换：，定义：，PQ线段的长度：P’Q’变形后的长度：21,Green-Lagrange应变（Green应变）,Almansi

2、应变21定义位移向量：，在小应变情况下：工程应变21一．应力度量欧拉应力张量（Green应力张量）：表示变形后的构型的三个坐标面上的应力构成的张量。是对称张量变形后表面上的应力：，变形前的应力：需要确定变形前、后的相应面上的力之间的关系。两种确定方法：21（1）Lagrange规定：（2）Kirchhoff规定：与坐标变换规律相同：21，：第一类Piola-Kirchhoff应力（Lagrange应力张量），非对称，：第二类Piola-Kirchhoff应力。Kirchhoff应力张量，对称各种应力张量之

3、间的关系：（1）由质量守恒：21（2），（3），（4）注意：是非对称张量，是对称张量。218.2几何非线性问题的表达格式几何非线性问题的有限元分析，通常采用增量分析的方法。考虑直角坐标系内的物体，增量分析的目的是：确定物体在一系列时间点，，处于平衡状态的位移，速度，应变和应力。一．虚位移原理（虚功原理）21：描述初始时刻的物体内各点坐标。：描述时刻t的物体内各点坐标。：描述时刻的物体内各点坐标。，从t到的位移增量：在时刻应用虚功原理：21增量法的求解的基本思想是：t意见时刻的相应是已知的，时刻的相应未知（

4、待求）。由两种方法：（1）完全Lagrange格式（T.L.格式：TotalLagrangeFormulation）以初始时刻的构型为参考构型。（2）更新Lagrange格式（U.L.格式：UpdatedLagrange21Formulation）以t时刻的构型为参考构型。二．完全Lagrange格式单位初始表面上的等效荷载（面力）：单位初始质量上的等效荷载（体力）：如果荷载不随变形变化（保守力）：由质量守恒，可知：2121应力：21因此，虚功原理可表示成：21为了便于求解：将应力和应变分解成：从t到时刻

5、引起的应力增量从t到时刻引起的应变增量将应变增量进一步分解：2121虚功原理可进一步写成：T时刻的应力相当于初应力。可转化成等效荷载体现在方程中。三．更新的Lagrange格式更新的Lagrange格式的表达式，与完全Lagrange格式类似。所不同的是，参考构型是t时刻的构型。表达式中的0指标改成t，即可获得更形的Lagrange格式的表达式。（略）21三．平衡方程的线性化（1）物理方程的线性化：对于弹性材料，该关系式准确的。如果是小变形，则有材料的弹性常数张量。（2）求解格式的进一步线性化：21带入虚

6、功方程，可获得用位移和应变表示的虚功方程：21