几何非线性有限元分析课件(2)

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1、第8章几何非线性有限元分析8.2几何非线性问题的表达格式虚位移原理（虚功原理）：虚功原理的初始参考构型表示形式：14为了便于求解：将应力和应变分解成：从t到时刻引起的应力增量从t到时刻引起的应变增量将应变增量进一步分解：14平衡方程的线性化（1）物理方程的线性化：对于弹性材料，该关系式准确的。如果是小变形，则有材料的弹性常数张量。（2）求解格式的进一步线性化：14带入虚功方程，可获得用位移和应变表示的虚功方程：148.3有限元求解方程及解法一．有限元方程：静力问题：按照一般的有限元法的基本思想，将结构离散成有限单元，每个单元中，选择相应的形函

2、数，将节点坐标、位移等相应的量，通过形状函数与单元的节点上的坐标值、位移相联系。坐标：，，位移：，14代入虚功原理：，14，1414经过集成后，可获得有限元控制方程：该方程是一个非线性方程组。其非线性体现在刚度系数矩阵上。在时间步中，刚度矩阵是切线模量。这与物理非线性问题是相同的。另一方面，右端项与待求的位移增量{u}相关。这也造成了非线性。求解方法：可采用求解物理非线性问题的方法求解。14二．用于几何非线性的单元及单元矩阵和向量的举例：（见教材）三．有限元方程的解法基本思想：在每个时间步中，采用非线性方程的求解方法，进行迭代求解。这些方法包

3、括：直接迭代法；N－R方法等。因此，几何非线性问题的求解包括两层迭代（循环）；外层循环（迭代）：对时间步迭代（荷载增量步）内层循环：求解各时间步倒出的非线性方程，通过迭代求解该时间步后的相应。14四．平衡路径的追踪方法：弧长法148.4稳定性问题初始稳定性问题（初始屈曲等）14稳定性控制方程（屈曲方程）非线性方程：稳定性问题：在一定的荷载条件下，结构处于平衡状态。在荷载不增加的条件下，是否存在另一状态？从数学上说，如果位移{u}对应平衡状态，在荷载不变的条件下，位移有一个小的扰动，是否也能够处于平衡状态？也就是：，是否有非零解？14注意：非线

4、性刚度矩阵是由初始内力形成的刚度矩阵。初始内力的大小与外荷载相关。如果讨论的是初始屈曲问题，则初始内力与外荷载成正比。例如，梁的屈曲问题，则内力与轴向荷载p成正比。此时，。失稳条件：求解上述方程，可求出失稳荷载。14