2.2收敛数列的性质

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1、《数学分析》上册教案第二章数列极限§2.2　收敛数列的性质教学内容：第二章数列极限——§2.2　收敛数列的性质教学目标：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法.教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；（2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限.教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用.教学难点：数列极限的计算.教学方法：讲练结合.教学过程：引言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握.为了学习极限的

2、技巧及其应用极限来解决问题.还需要对数列的性质作进一步讨论.一、收敛数列的性质性质1（极限唯一性）　若数列收敛，则它的极限唯一.证法一假设都是数列的极限，则由极限定义，对，，当时，有  ； 时，有.取，则当时有，由的任意性，上式仅当时才成立.证法二（反证）假设极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为8《数学分析》上册教案第二章数列极限 ， 且故不妨设，取，由定义，，当时有.     又，当时有，因此，当时有 矛盾，因此极限值必唯一.性质2（有界性）如果数列收敛，则必为有界数列.即，使对有证明设 取，使得当时有即   .令则有对 即数列有界.注

3、：①有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，如.②在证明时必须分清何时用取定，何时用任给.上面定理3.2证明中必须用取定，不能用任给，否则随在变，找到的也随在变，界的意义就不明确了.性质3（保序性）设 ，，   (1)若，则存在使得当时有;(2)若存在，当时有，则（不等式性质）.证明（1）取，则存在，当时,8《数学分析》上册教案第二章数列极限从而.又存在，当时 当时.（2）（反证）如，则由⑴知必当时这与已知矛盾.推论（保号性）若则，当时.特别地，若，则，当时与同号.思考如把上述定理中的换成，能否把结论改成？例设（），若，则证明由保序性定理可得

4、.若，则，，当时有即.若，则，，当时有  .数列较为复杂，如何求极限？性质4（四则运算法则）若、都收敛，则、、也都收敛，且 ，.特别地，，为常数如再有则也收敛，且.8《数学分析》上册教案第二章数列极限证明由于，，故只须证关于和积与倒数运算的结论即可.设，，，，当时；，当时,取，则当时上两式同时成立.（1）,由收敛数列的有界性，，对有故当时，有,由的任意性知.（2） .由保号性，及，对有（如可令）.取，则当时有,由的任意性得 .用数学归纳法，可得有限个序列的四则运算：，.但将上述换成，一般不成立.事实上或本身也是一种极限，两种极限交换次序是个非常敏

5、感的话题，是高等分析中心课题，一般都不能交换，在一定条件下才能交换，具体什么条件，到后面我们会系统研究这个问题.8《数学分析》上册教案第二章数列极限性质5（两边夹定理或迫敛性）设有三个数列、、，如，当时有，且，则.证明，, 当时，；当时，,取，则当时以上两式与已知条件中的不等式同时成立，故有时  即.该定理不仅提供了一个判定数列收敛的方法，而且也给出了一个求极限的方法.推论若，当时有（或）且，则.例求证 （）.证明使得，从而当时有   ,由于 由推论即可得结论.例设，，…，是个正数，证明.证明设，则   ，由迫敛性得结论.例1.在证明中,令，，得

6、，由此推出.由此例也看出由和,也推出.例2证明.8《数学分析》上册教案第二章数列极限证明令,，两边夹推出，即.在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则.下举几例:例3求极限.解.例4求极限.解.例5.例6求，，，.解原式,即有理式的极限.如.8《数学分析》上册教案第二章数列极限例7.例8设，证明.证明.二、数列的子列(一)引言极限是个有效的分析工具.但当数列的极限不存在时，这个工具随之失效.这能说明什么呢？难道没有一点规律吗？当然不是!出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究.那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序

7、呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”.(二)子列的定义定义1设为数列，为正整数集的无限子集，且，则数列称为数列的一个子列，简记为.注1由定义可见，的子列的各项都来自且保持这些项在中的的先后次序.简单地讲，从中取出无限多项，按照其在中的顺序排成一个数列，就是的一个子列（或子列就是从中顺次取出无穷多项组成的数列）.注2子列中的表示是中的第项，表示是中的第k项，即中的第k项就是中的第项，故总有.特别地，若，则，即.注3数列本身以及去掉有限项以后得到的子列，称

8、为的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为的非平凡子列.8《数学分析》上册教案第二章数列极限如都是的非平凡子列.由上节例知：数列与它的任一平