收敛数列的性质(V)

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1、第二章数列极限二收敛数列的性质收敛数列的性质定理2.2(极限的唯一性)如果数列{xn}收敛那么它的极限唯一使当n>N时,同时有因此同时有这是不可能的.所以只能有a=b.证明一个收敛数列一般含有无穷多个数,而它的极限只是一个数.我们单凭这一个数就能精确地估计出该数列的几乎全体项的大小.以下收敛数列的一些性质,大都基于这一事实.注:如果M0,使对nN有

2、an

3、M,则称数列{an}是有界的;如果这样的正数M不存在,就说数列{an}是无界的收敛数列的性质定理2.2(极限的唯一性)如果数列

4、{an}收敛那么它的极限唯一定理2.3(收敛数列的有界性)如果数列{an}收敛那么数列{an}一定有界收敛的数列必定有界.证由定义,推论无界数列必定发散.

5、},

6、1,,,max{1axxMN+=…记1如果数列{an}收敛,那么数列{an}一定有界发散的数列是否一定无界?有界的数列是否收敛?2数列1,1,1,1,,(1)N1,的有界性与收敛如何？讨论收敛数列的性质定理2.2(极限的唯一性)如果数列{an}收敛那么它的极限唯一定理2.3(收敛数列的有界性)如果数列{

7、an}收敛那么数列{an}一定有界收敛数列的性质定理2.2(极限的唯一性)如果数列{an}收敛那么它的极限唯一定理2.3(收敛数列的有界性)如果数列{an}收敛那么数列{an}一定有界定理2.4(收敛数列的保号性)如果数列{an}收敛于a,且a0(或a0)那么存在正整数N当nN时有an0(或an0)推论如果数列{an}从某项起有an0(或an0)且数列{an}收敛于a那么a0(或a0)例1证　由定理2.5可得a≥0.lim,lim,0axaxxnnnnn=

8、=≥¥®¥®求证且设例2解由夹逼定理得定理2.7(数列极限的四则运算法则)注:在数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序这样得到的一个数列称为原数列{xn}的子数列.收敛数列与其子数列间的关系例如数列{xn}1111(1)n1的一个子数列为{x2n}111(1)2n1在数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，得到的数列称为子数列：注1由定义可见,数列{xn}的子列{xnk}的各项都选

9、自{xn},并保持这些项在原数列中的先后次序,{xnk}中的第k项是{xn}中的第nk项,故有nk≥k.实际上,{nk}本身也是正整数数列{n}的子列.注2数列{xn}本身以及{xn}去掉有限项后得到的子列,称为{xn}的平凡子列;不是平凡子列的子列,称为{xn}的非平凡子列.例如{x2k}和{x2k-1}都是{xn}的非平凡子列.由上节例8可知:数列{xn}与它的任一平凡子列同为收敛或发散,且收敛时有相同的极限.定理2.8数列{xn}收敛的充要条件是它的任一非平凡子列都收敛.这一定理表明的是收敛的

10、数列与其子数列之间的关系。由此可知，若数列xn有两个子数列收敛于不同的极限值，则xn一定是发散的。定理2.8数列{xn}收敛的充要条件是它的任一非平凡子列都收敛.性质对于数列{xn}证此时有此时有总之：恒有)(),()(}

11、{}

12、{}{¥®®¥®=ÎÎnaxqpaNBABqxApxxnqpn则趋于同一极限值其中与：若子数列对数列U1数列的子数列如果发散,原数列是否发散?2数列的两个子数列收敛,但其极限不同,原数列的收敛性如何?3发散的数列的子数列都发散吗？4如何判断数列1111

13、(1)N1发散？定理(收敛数列与其子数列间的关系)如果数列{xn}收敛于a那么它的任一子数列也收敛且极限也是a讨论由此定理可见，若数列这些子列必收敛于同一个极限。的任何非平凡子列都收敛，则所有于是，若数列或有两个子列收敛而极限不相等，则数列一定发散。有一个子列发散，这是判断数列发散的一个很方便的方法。小结(1),唯一性;(2),有界性;(3),保号性;作业P33:1(1)(3)(5),3,4,(2)(5)(4),四则运算法则;(5),不等式性;(6),收敛数列与其子列的关系.