收敛数列的性质(经典

《收敛数列的性质(经典》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、§２　收敛数列的性质教学内容：收敛数列的性质，四则运算法则，子数列。教学要求：使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限；清楚子列概念，明确数列与其子列敛散性关系。教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用。教学难点：数列极限的计算。教学方法：讲练结合。教学学时：4学时。u引言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握。为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问

2、题。还需要对数列的性质作进一步讨论。一、收敛数列的性质：定理2.2（唯一性）若数列收敛，则它只有一个极限。分析：设数列有两个极限，只需证明，即证可小于任一给定充分小的数。证明：设与，根据数列极限的定义，有取.,于是，，这就说明，从而收敛数列的极限唯一。定理2.3（有界性）若数列收敛，则为有界数列。分析：即证证明：设，根据数列极限定义，对，，，有，从而，有，取，于是，即收敛数列必为有界数列。注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件。例如数列有界，但它不收敛。定理2.4（保号性）若（或），则对任何（或），存

3、在正数Ｎ，使得当时有（或）。证明：设，取，则，，有，这就证得结果。对于，的情形，也可类似地证之。注：应用保号性时，经常取定理2.5（保不等式性）设数列与均收敛，若存在正数，使得当时有，则。证明：设，，则，，取，则当时有：，故有，由的任意性便知（参见第一章§1例2），即。思考：如果把条件“”换成“”，那么能否把结论换成？（答：不行，考虑数列与。保不等式性的一个应用：例1设，证明：若，则.证明：由保不等式性可得.若，则由，，，使得当时有，从而，故有.若，则由，，，使得当时有，从而，故有.定理2.6（迫敛性）设收敛数列

4、、都以a为极限，数列满足：存在正数，当时有，则数列收敛，且.证明：由已知有，，从而取，当时有，即有，故得数列收敛，且.注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具。下面是其应用一例：例2证明.证明：，有，令，则，所以，于是易知，从而由迫敛性便知.有些教材在此还有性质保序性(本节课后习题2)(保序性)若,且,则存在正数，使得当时有证明：根据数列极限的定义，对，由知由知取，则当时便有，命题得证。注：利用保序性以及反证法很容易可证明保号性定理。二、数列极限的四则运算法则：定理2.7（极限

5、的四则运算法则）　若、为收敛数列，则也都收敛，且有;.若再做假设及，则数列也收敛，且有.证明：证明思路大致如下设，，则，，取，则当时便有同时成立。①于是；②于是；③又有界性定理收敛数列必有界，设数列有界，即使得，都有，于是；④由知（上节课后习题7），由数列极限保号性知，使得当时有，取，则当时便有于是.在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则。下举几例；例2求解：.例4求，其中.解：，已知，，从而＝.例5求，其中.解：若，；若，；若，例5求.解：＝例6求.解：由于且易知（参考例1结论），于是由数列极限迫敛性便

6、知＝1.三、数列的子列：1．引言：极限是个有效的分析工具。但当数列的极限不存在时，这个工具随之失效。这能说明什么呢？难道没有一点规律吗？当然不是！　出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究。那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”。2．子列的定义：定义１设为数列，为正整数集的无限子集，且，则数列称为数列的一个子列，简记为.注1由定义可见，的子列的各项都来自且保

7、持这些项在中的的先后次序。简单地讲，从中取出无限多项，按照其在中的顺序排成一个数列，就是的一个子列（或子列就是从中顺次取出无穷多项组成的数列）。注2子列中的表示是中的第项，表示是中的第k项，即中的第k项就是中的第项，故总有.特别地，若，则，即.注3数列本身以及去掉有限项以后得到的子列，称为的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为的非平凡子列。如都是的非平凡子列。3．数列与其子列敛散性关系：由上节例8易知：性质：数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限。那么数列的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关

8、系呢？此即下面的结果：定理2.8数列收敛于的任何非平凡子列都收敛且都收敛于。证明：[必要性]设是的任一子列。由知，使得当时有，而，于是，从而，所以也收敛于。[充分性]设，由数列极限的定义，取，当（），有，即知数列收敛于。注：此定理的证明也可由上节例7直接得到。由此定理可见：若数列收敛于，则的所有子列必收敛于，反之亦成立；同时，若数列有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不