2018年春湘教版数学九年级下册教案：2.3 垂径定理

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1、湘教版2018年春九年级数学下册教案1.1锐角三角函数第1课时正切与坡度湘教版2018年春九年级数学下册教案1．理解正切的意义，并能举例说明；(重点)2．能够根据正切的概念进行简单的计算；(重点)3．能运用正切、坡度解决问题．(难点)　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、情境导入观察与思考：某体育馆为了方便不同需求的观众，设计了不同坡度的台阶．问题1：图①中的台阶哪个更陡？你是怎么判断的？问题2：如何描述图②中台阶的倾斜程度？除了用∠A的大小来描述，还可以用什么方法？方法一：通过测量BC与AC的长度算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度；方法二：在台阶斜坡上另

2、找一点B1，测出B1C1与AC1的长度，算出它们的比，也能说明台阶的倾斜程度．你觉得上面的方法正确吗？二、合作探究探究点一：正切【类型一】根据正切的概念求正切值分别求出图中∠A、∠B的正切值(其中∠C＝90°)．由上面的例子可以得出结论：直角三角形的两个锐角的正切值互为________．解析：根据勾股定理求出需要的边长，然后利用正切的定义解答即可．解：如图①，tan∠A＝＝，tan∠B＝＝；如图②，BC＝＝48，tan∠A＝，tan∠B＝.因而直角三角形的两个锐角的正切值互为倒数．方法总结：求锐角的三角函数值的方法：利用勾股定理求出需要的边长，根据锐角三角函

3、数的定义求出对应三角函数值即可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题【类型二】在网格中求正切值已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形的顶点上，求tan∠ADC的值．解析：先证明△ACD≌△BCE，再根据tan∠ADC＝tan∠BEC即可求解．解：根据题意可得AC＝BC＝＝，CD＝CE＝＝，AD＝BE＝5，∴△ACD≌△BCE(SSS)．∴∠ADC＝湘教版2018年春九年级数学下册教案∠BEC.∴tan∠ADC＝tan∠BEC＝.方法总结：三角函数值的大小是由角度的大小确定的，因此可以把求一个角的三角

4、函数值的问题转化为另一个与其相等的角的三角函数值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题【类型三】构造直角三角形求三角函数值如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，D为AC的中点，求tan∠ABD的值．解析：设AC＝BC＝2a，根据勾股定理可求得AB＝2a，再根据等腰直角三角形的性质，可得DE与AE的长，根据线段的和差，可得BE的长，根据正切三角函数的定义，可得答案．解：如图，过D作DE⊥AB于E.设AC＝BC＝2a，根据勾股定理得AB＝2a.由D为AC中点，得AD＝a.由∠A＝∠ABC＝45°，又DE⊥AB，得△ADE是等腰直角三

5、角形，∴DE＝AE＝.∴BE＝AB－AE＝，tan∠ABD＝＝.方法总结：求三角函数值必须在直角三角形中解答，当所求的角不在直角三角形内时，可作辅助线构造直角三角形进行解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题探究点二：坡度【类型一】利用坡度的概念求斜坡的坡度(坡比)堤的横断面如图．堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度是(　　)A．1∶3　B．1∶2.6C．1∶2.4D．1∶2解析：由勾股定理得AC＝12米．则斜坡AB的坡度＝BC∶AC＝5∶12＝1∶2.4.故选C.方法总结：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，

6、又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1∶m的形式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题【类型二】利用坡度解决实际问题已知一水坝的横断面是梯形ABCD，下底BC长14m，斜坡AB的坡度为3∶，另一腰CD与下底的夹角为45°，且长为4m，求它的上底的长(精确到0.1m，参考数据：≈1.414，≈1.732)．解析：过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，根据已知条件求出AE＝DF的值，再根据坡度求出BE，最后根据EF＝BC－BE－FC求出AD.解：过点A作AE⊥BC，过点D作DF⊥BC，垂足分别为E、

7、F.∵CD与BC的夹角为45°，∴∠DCF＝45°，∴∠CDF＝45°.∵CD＝4m，∴DF＝CF＝＝4(m)，∴AE＝DF＝4m.∵斜坡AB的坡度为3∶，∴tan∠ABE＝＝＝，∴BE＝4m.∵BC＝14m，∴EF＝BC－BE－CF＝14－4－4＝10－4(m)．∵AD＝EF，∴AD＝10－4≈3.1(m)．所以，它的上底的长约为3.1m.方法总结：考查对坡度的理解及梯形的性质的掌握情况．解决问题的关键是添加辅助线构造直角三角形．湘教版2018年春九年级数学下册教案变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计正切与坡度1．正切的概念在

8、直角三角形ABC中，tanA＝.2．坡度的概念坡度是