题97直线与平面所成的角和二面角(一)

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1、课题：9．7直线与平面所成的角和二面角(一) 教学目的：1.理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念2.根据概念先找直线射影后确定线面夹角从而熟练求解直线和平面所成角3.培养化归能力、分析能力、观察思考能力和空间想象能力等4.培养立体感、数学美感，提高学生学习数学特别是立体几何的兴趣教学重点：线面夹角的概念及利用概念分步求夹角教学难点：直线和平面所成角的概念及的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质：2

2、．直线和平面的位置关系（平行、相交和直线在平面内）二、讲解新课：1斜线,垂线,射影⑴垂线自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影.这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.⑵斜线一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段⑶射影过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影直线与平面平行，直线在平面由射影是一

3、条直线直线与平面垂直射影是点斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上2．射影长相等定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中⑴射影相交两条斜线相交；射影较长的斜线段也较长⑵相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长第6页（共6页）⑶垂线段比任何一条斜线段都短⑴OB=OCÞAB=ACOB>OCÞAB>AC⑵AB=ACÞOB=OCAB>ACÞOB>OC⑶OA

4、是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0°角直线和平面所成角范围：[0，]（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角证明：设平面的一条斜线在内的射影为，角是与所成的角直线OD是平面内与不同的任意一条直线，过点上的点A引AC垂直于OD，垂足为C因为AB

5、足为O、B连接OB，则OB⊥b.在直角△AOP中，.在直角△ABC中，.在直角△ABP中，.所以所以成立用向量运算研究：第6页（共6页）如图，是平面的斜线，是斜足，垂直于平面，为垂足，则直线是斜线在平面内的射影设是平面内的任意一条直线，且，垂足为，又设与所成角为，与所成角为，与所成角为，则易知：，又∵，可以得到：，则同样可以得到：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角；三、讲解范例：例1如图，已知是平面的一条斜线，为斜足，为垂足，为内的一条直线，，求斜线和平面

6、所成角解：∵，由斜线和平面所成角的定义可知，为和所成角，又∵，∴，∴，即斜线和平面所成角为．例2．如图，在正方体中，求面对角线与对角面所成的角解法一：连结与交于，连结，∵，，∴平面，∴是与对角面所成的角，在中，，∴．第6页（共6页）解法二：由法一得是与对角面所成的角，又∵，，∴，∴．说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角另外，在条件允许的情况下，用公式求线面角显得更加方便解法三：建立空间直角坐标系，用向量计算例3．已知空间四边形的各边及对角线相等，求与平面所成角的

7、余弦值解：过作平面于点，连接，∵，∴是正三角形的外心，设四面体的边长为，则，∵，∴即为与平面所成角，∴，所以，与平面所成角的余弦值为．例4如图，已知AP⊥BP，PA⊥PC，∠ABP=∠ACP=60º，PB=PC=BC，D是BC中点，求AD与平面PBC所成角的余弦值.解：∵AP⊥BP，PA⊥PC，∴AP⊥PBC连PD，则PD就是AD在平面PBC上的射影∴∠PDA就是AD与平面PBC所成角又∵∠ABP=∠ACP=60º，PB=PC=BC，D是BC中点，第6页（共6页）∴PD=,PA=BC∴AD=∴∴AD与平面P

8、BC所成角的余弦值为四、课堂练习：1选择题（1）一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是（）（A）（0º,90º）（B）[0º,90º]（C）[0º,180º]（D）[0º,180º)（2）两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点.上述四个结论中，可能成立的个数是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个（3）从平面外一点P引与平面相交的直线，使P点与交点的距离等