例说构造“载体”在数学解题中的应用

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1、例说构造“载体”在数学解题中的应用315800浙江省宁波市北仑中学毛浙东数学知识之间是有紧密联系的，这就要求我们在解决数学问题时要有开阔的眼界，要善于利用各种已学的知识，有时为了解决某个问题，不妨利用看似与其完全无关的其它数学知识当“载体”，往往可以漂亮地解决某些棘手的问题，给人以耳目一新的感觉。现举几例，来说明构造“载体”的独特功效。一、构造图形载体根据问题条件中的数量关系的几何意义，以某种方式构作图形，将题设中的数量关系以形象、直观的方式直接在图形中得到体现，转而利用几何性质使问题得到解决。例1、已知：0＜x＜1，0＜y＜1，0＜z＜1，求证： 分析：本题局限在代数不

2、等式范畴不易求解，但如果将题目中的式子赋予“形”的载体，则问题迎刃而解。         证明：构造一边长为1的等边ΔABC，取AB，BC，CA上各一点D，E，F，并令AD=x，BE=y，CF=z，其中0＜x＜1，0＜y＜1，0＜z＜1，则SΔADFSΔBDESΔCEFSΔADF+SΔBDE+SΔCEF＜SΔABC即成立。 例2、在三棱锥中，PA，PB，PC两两垂直，在底面ABC内有一点M，点M到面PAB，面PBC，面PAC的距离分别为1，2，3，求点P到点M的距离。分析：乍一看题目挺复杂，辅助线也要添好几条，给人很不舒服的感觉，但如果构造长方体作载体，则点M到面PAB，

3、面PBC，面PAC的距离分别成为长方体从同一顶点出发的三条棱，而所求PM长即为长方体的体对角线，问题马上明朗化了。解：不妨构造长方体，长方体从同一顶点M出发的三条棱长分别为1，2，3，所求结果为：PM=评注：构造图形载体能使模糊的题目变得清晰和明朗，给人酣畅淋漓的感觉，当然，是构造平面图形作载体还是立体图形作载体，得视具体题目而定。二、构造数列载体相当多的数学问题，尤其是证明不等式，尝试一下“构造数列”能产生意想不到的效果。例3、已知求证：分析：此题证法很多，可以采用比较法，分析法，综合法等，但总给人感觉落了俗套。观察式子的结构，频频出现的形式，让人不觉联想起无穷项等比数

4、列的求和公式：若则=。于是尝试后构造等比数列作载体来求解。证明：=同理，=+=评注：实际上，如果题目需要，等差，等比数列的通项公式或求和公式都可以被当作载体来用。三、构造向量载体自从向量进入了高中教材之后，它的工具性的特点越来越明显了。代数、几何中的很多问题都可以利用向量这一工具作载体来解决。例4、求证不等式：分析：如果直接两边平方展开将会陷入复杂的计算泥潭中，分析后发现原式左边的结构与向量的数量积公式中的有雷同之处，于是构造向量作载体，问题即可解决。证明：设则，，恒成立，也成立。评注：实际上，将上式拓展后就成为证明成立的问题了，即证明样本相关系数，这显然是正确的。四、构

5、造排列组合载体排列组合中有很多经典的模型，如果将其运用到其它知识中，那就实现了“建模”，学会“建模”也是新教材对学生能力的一个重要要求。例5、求方程有多少组正整数解？ 分析：直接求解情况比较复杂，但如果构造一排列组合模型作载体，题目本质没有改变，而求解却方便多了。解：原题可等价翻译为：将6个形状、大小、颜色完全相同的球放入四个不同的盒子中，每盒至少一个，共有多少种放法？一种放法对应着方程的一组解；反之，方程的任一组正整数解也对应着球在盒中的一种放法。于是采用“隔板法”：即6个球之间有5个空挡，从中选出3个空挡来放入隔板，共有种放法。即原方程有10组正整数解。评注：如果将原

6、题改为“有多少组非负整数解？”，则可构造如下排列组合模型：从6个球和3块隔板组成的9个位置中选3个放入隔板，有几种放法？显然答案为种。五、构造函数载体所谓构造函数，就是从问题本身的特点出发构作一个新的辅助函数。再利用函数的性质去求得问题的解决。很多数学命题要么难寻入口，要么繁冗复杂，若巧妙利用函数作载体，会使解答别具一格。例6、 已知，求证：分析：此题是一道不等式证明题，变量较多，难以突破，但如果寻找一主元，并以其为自变量构造一个二次函数作载体，情况就不一样了。证明：要证原不等式，只要证不妨以为主元构造二次函数：此函数开口向上，其判别式0故其图象在轴上方或轴上，显然，即成

7、立，也即原不等式成立。例7、由10个元素组成的集合M={1，99，，0，25，，，19，，11}，记M的所有非空子集为M，，每一个M中所有元素的乘积为，且，求……+分析：此题如果把它纯粹当作集合题来做，考虑情况太多，而且很容易重复或遗漏，但观察到所求结果无非是所有单元素集合，两元素集合，三元素集合……十元素集合的元素的乘积，很有规律，不妨构造一个10次函数作载体，我们可以控制这个函数，让其展开式和所求答案建立起一一对应。解：设集合M中10个元素分别为构造函数=则就是所有单元素集合中元素之和，是所有两元素集合中元素乘积之和，……