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1、2006年上学期《逻辑导论》期末考试系别姓名学号一、把下列语句翻译为谓词逻辑的公式，设个体域为全域（20分）：1．北京大学是中国最好的大学。（要求：不把“最好”当性质）解：令U表示“中国的大学”，B表示“…比…好”，则该语句翻译为：U(a)∧"x(U(x)∧x≠a®B(a,x))2．有最小的自然数，但没有最大的自然数。解：N：自然数；R：≤；S：≥$x(N(x)∧"y(N(y)®R(x,y)))∧Ø$x(N(x)∧"y(N(y)®S(x,y)))3．每个人都有唯一的母亲，但并非每位母亲都有唯一的子女。解：H：人；M(x,y)：x是y的母亲。"x(H
2、(x)®$y(M(y,x)∧"z(M(z,x)®z＝y)))∧Ø"x($y(M(x,y)®"z(M(x,z)®z＝y)))4．有些学生尊敬所有的老师，所以，所有老师都有学生尊敬。解：S：学生；T：老师；R：尊敬$x(S(x)∧"y(T(y)®R(x,y)))／∴"x(T(x)®$y(S(y)∧R(y,x)))二、用一阶树形图判定下列公式或推理是不是普遍有效的（15分）：（1）"x(F(x)∨G(x))®"xF(x)∨"xG(x)解：Ø("x(F(x)∨G(x))®"xF(x)∨"xG(x))√
3、"x(F(x)∨G(x))Ø("xF(x)∨"xG(x
4、))√
5、Ø"xF(x)√Ø"xG(x)√
6、ØF(a)
7、ØG(b)
8、F(a)∨G(a)√F(a)G(a)×
9、F(b)∨G(b)√F(b)G(b)×结论：图已经画完，有一个不闭的枝，因此，带否定号的公式可满足，原公式不是普遍有效式。（2）($xF(x)®"xG(x))®"x(F(x)∧$yH(y)®G(x))解：Ø(($xF(x)®"xG(x))®"x(F(x)∧$yH(y)®G(x)))√
10、($xF(x)®"xG(x))√Ø("x(F(x)∧$yH(y)®G(x)))√
11、Ø(F(a)∧$yH(y)®G(a))√
12、F(a)∧$yH(y)√ØG(a)
13、F
14、(a)$yH(y)
15、Ø$xF(x)"xG(x))
16、
17、ØF(a)G(a)××结论：图已经画完，所有的枝都是闭枝，因此，带否定号的公式不可满足，原公式是普遍有效式。（3）$x(A(x)∧"y(B(y)®C(x,y)))/∴"y(B(y)®$x(A(x)∧C(x,y)))解：$x(A(x)∧"y(B(y)®C(x,y)))√Ø"y(B(y)®$x(A(x)∧C(x,y)))√
18、Ø(B(a)®$x(A(x)∧C(x,a)))√
19、B(a)Ø$x(A(x)∧C(x,a))
20、A(b)∧"y(B(y)®C(b,y))√
21、A(b)"y(B(y)®C(b,y))
22、B(
23、a)®C(b,a)√ØB(a)C(b,a)))×
24、Ø(A(b)∧C(b,a))√ØA(b)ØC(b,a))××结论：图已经画完，所有的枝都是闭枝，因此，带否定号的公式不可满足，原公式是普遍有效式。三、分别构造一个相应的解释，证明（15分）：（1）$xF(x)∧$xG(x)®$x(F(x)∧G(x))不是普遍有效的。解：个体域：N；F：偶数；G：奇数。$xF(x)表示“有的自然数是偶数”，真命题；$xG(x)表示“有的自然数是奇数”，真命题；因此，该蕴涵式的前件是真命题；$x(F(x)∧G(x))表示“有的自然数既是偶数又是奇数”，假命题。整个蕴涵式
25、前件真后件假，假命题。所以，该蕴涵式不是普遍有效的。（2）("xF(x)®Ø$xG(x))®$xØ(F(x)∧G(x))是可满足的。解：个体域：N；F：偶数；G：奇数。"xF(x)表示“所有自然数是偶数”，假命题；$xG(x)表示“有的自然数是奇数”，真命题；故Ø$xG(x))是假命题；前件假后件假，故作为这个蕴涵式前件的那个蕴涵式是真命题；$xØ(F(x)∧G(x))表示“有的自然数并非既是偶数又是奇数”，真命题；真命题蕴涵真命题，整个蕴涵式是真命题；所以，该蕴涵式是可满足的。（3）"x$yR(x,y)®$y"xR(x,y)是可满足但不普遍有效的
26、。解：（i）个体域：N；R：≥。"x$yR(x,y)表示“所有自然数都大于等于有的自然数”，真命题；$y"xR(x,y)表示“有的自然数（比如1），所有自然数都大于等于它”，真命题；真命题蕴涵真命题，真命题；所以，该蕴涵式是可满足的。（ii）个体域：N；R：≤。"x$yR(x,y)表示“所有自然数都小于等于有的自然数”，即“没有最大的自然数”，真命题；$y"xR(x,y)表示“有的自然数，所有自然数都小于等于它”，即“有最大的自然数”，假命题；真命题蕴涵假命题，假命题；所以，该蕴涵式不是普遍有效的。四、证明下列公式或推理是自然推理系统QN的定理（3
27、5分）：1．$xF(x)∨$xG(x)，"x(ØR(x)®ØF(x))，"x(ØR(x)®ØG(x))/∴$xR(x)（证
